幾何学的なパスと茂み

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砂の中のサイン
誇張から妄想へ

この記事を書いている間、私はヤン・ピーターザックの非常に古い歌を思い出しました。彼は、ポーランド人民共和国で安全弁として認められたキャバレーポッドエギディでの風刺活動の前に歌いました。システムのパラドックスを正直に笑うことができます。この曲では、著者は社会主義の政治参加を推奨し、非政治的になりたい人々を嘲笑し、新聞のラジオをオフにしました。「学校の読書に戻ったほうがいい」と当時XNUMX歳だったペトシャクは皮肉なことに歌った。

学校に戻って本を読みます。私はシチェパン・エレンスキー（1881-1949）の本『リラヴァティ』を（今回が初めてではないが）再読している。ほとんどの読者にとって、この言葉自体が何かを語っています。これは、バスカラ (1114-1185) として知られる有名なヒンドゥー教の数学者の娘、アカリア、または彼の代数に関する本のタイトルにその名前を付けた賢者の名前です。リラヴァティ自身も後に有名な数学者および哲学者になりました。他の情報源によると、この本を書いたのは彼女自身だそうです。

シュチェパン・エレンスキーは、数学に関する著書（初版、1926 年）に同じタイトルを付けました。この本を数学的作品と呼ぶのは難しいかもしれません。それはむしろパズルのセットであり、主にフランスの情報源から書き直されました（現代の意味での著作権は存在しませんでした）。いずれにせよ、長年にわたって、この本は数学に関するポーランドで唯一人気のある本であり、後にジェレンスキーの XNUMX 冊目の本である『ピタゴラスのお菓子』がそれに追加されました。そのため、数学に興味のある若者（まさに私がかつてそうでした）には選択の余地がありませんでした...

一方、「リラヴァティ」はほとんど暗記しなければならなかった...ああ、そういう時もあった...彼らの最大の利点は、私が...当時XNUMX代だったということだった。今日、私は十分な教育を受けた数学者の観点から、リラヴァティをまったく異なる方法で見ています。おそらく、シュピグラソワ・プシェレンチへの道の曲がり角を登る登山者のようです。どちらもその魅力を失うことはありません...彼の特徴的なスタイルで、私生活でいわゆる国家思想を公言するシチェパン・エレンスキーは、序文で次のように書いています。

国の特徴の説明に触れることなく、XNUMX年経った今でも、イェレンスキーの数学に関する言葉はその関連性を失っていません。数学はあなたに考えることを教えます。事実です。私たちはあなたに違った、より単純でより美しい考え方を教えることができますか？多分。それはただ...私たちはまだできません。数学をしたくない生徒たちに、これは彼らの知性のテストでもあると説明します。あなたが本当に単純な数学理論を学ぶことができないなら、それなら...多分あなたの精神的能力は私たちの両方が望むよりも悪いです...？

砂の中のサイン

そして、これが「リラヴァティ」の最初の物語であり、フランスの哲学者ジョセフ・ド・メストレ（1753-1821）によって記述された物語です。

難破した船の船員が波に乗って空の岸に投げ込まれ、無人と見なされました。突然、沿岸の砂の中で、彼は誰かの前に描かれた幾何学的図形の痕跡を見ました。その時、彼は島が捨てられていないことに気づきました！

Yelenskyは、de Mestriを引用して、次のように書いています。 幾何学図形それは不幸な、難破した、偶然の無言の表現だったでしょう、しかし彼は彼に一目で比率と数を示しました、そしてこれは悟りを開いた人を告げました。歴史についてはこれだけです。

船乗りは、たとえば、文字K、...、および人の存在のその他の痕跡を描くことによって、同じ反応を引き起こすことに注意してください。ここでは、ジオメトリが理想化されています。

しかし、天文学者のカミーユ・フラマリオン（1847-1925）は、文明が幾何学を使用して遠くからお互いに挨拶することを提案しました。彼はこれで唯一の正しくて可能なコミュニケーションの試みを見ました。そのような火星人にピタゴラスの三角形を見せましょう...彼らはタレスで私たちに答えます、私たちはビエタのパターンで彼らに答えます、彼らの円は三角形に収まるので、友情が始まりました...

ジュール・ヴェルヌやスタニスワフ・レムなどの作家はこの考えに戻りました。そして1972年に、幾何学的な（そしてそれだけではない）パターンのタイルがパイオニアプローブに搭載されました。パイオニアプローブはまだ宇宙の広がりを横切っており、現在は私たちからほぼ140天文単位です（1 Iは地球から地球までの平均距離です）。太陽、つまり約149億XNUMX万km）。タイルは、部分的に、地球外文明の数に関する物議を醸す規則の作成者である天文学者フランク・ドレイクによって設計されました。

幾何学は素晴らしいです。私たちは皆、この科学の起源に関する一般的な見方を知っています。私たち（私たち人間）は、最も実用的な目的で土地（そして後に土地）を測定し始めたばかりです。距離を決定し、直線を描き、直角をマークし、体積を計算することが徐々に必要になりました。したがって、全体 ジオメトリ （「地球の測定」）したがって、すべての数学は...

しかし、しばらくの間、科学の歴史のこの明確な絵は私たちを曇らせました。数学が運用目的のためだけに必要な場合、私たちは単純な定理を証明することに従事しません。「これはまったく真実であるはずです」と、いくつかの直角三角形で斜辺の二乗の合計が斜辺の二乗に等しいことを確認した後、言うでしょう。なぜそのような形式主義？

プラムパイは美味しくなければならず、コンピュータープログラムが機能しなければならず、機械が機能しなければなりません。バレルの容量をXNUMX回数え、すべてが順調に進んでいるとしたら、なぜ他にあるのでしょうか。

その間に、古代ギリシャ人はいくつかの正式な証拠を見つける必要があることに気づきました。

したがって、数学はタレス（紀元前625〜547年）から始まります。なぜだろうと思い始めたのはミレトスだったと思われます。賢い人にとって、何かを見たこと、何かを確信していることだけでは十分ではありません。彼らは、仮定から論文までの論理的な一連の議論である証明の必要性を見ました。

彼らはまたもっと欲しかった。神の介入なしに、自然主義的な方法で物理現象を最初に説明しようとしたのはおそらくタレスでした。ヨーロッパの哲学は、自然哲学から始まりました-すでに物理学の背後にあるものから始まりました（そのため、名前は形而上学です）。しかし、ヨーロッパの存在論と自然哲学の基礎は、ピタゴラス教徒（ピタゴラス、紀元前580年頃から500年頃）によって築かれました。

彼はアペニン半島の南にあるクロトーネに自分の学校を設立しました。今日ではそれを宗派と呼んでいます。科学（現在の意味で）、神秘主義、宗教、ファンタジーはすべて密接に絡み合っています。トーマス・マンは、小説ファウストゥス博士のドイツの体育館で数学の授業を非常に美しく発表しました。 MariaKuretskayaとWitoldVirpshaによって翻訳されたこのフラグメントは、次のようになっています。

チャールズ・ヴァン・ドーレンの興味深い本「歴史の夜明けから現在までの知識の歴史」の中で、私は非常に興味深い視点を見つけました。ある章では、著者はピタゴラス学校の重要性について説明しています。その章のタイトルそのものが私を驚かせました。「数学の発明：ピタゴラス教徒」と書かれています。

数学的理論が発見されているのか（たとえば、未知の土地）、発明されているのか（たとえば、以前は存在しなかった機械）についてよく話し合います。創造的な数学者の中には、自分たちを研究者と見なす人もいれば、発明家や設計者と見なす人もいますが、反対することはあまりありません。

しかし、この本の著者は、一般的な数学の発明について書いています。

誇張から妄想へ

この長い入門パートの後、最初に進みます。 ジオメトリ幾何学への過度の依存が科学者を誤解させる可能性があることを説明するため。ヨハネスケプラーは、物理学と天文学で、天体のXNUMXつの運動法則の発見者として知られています。まず、太陽系の各惑星は、太陽がその焦点のXNUMXつにある状態で、楕円軌道で太陽の周りを移動します。第二に、一定の間隔で、太陽から引き出された惑星の主要な光線は、等しいフィールドを描きます。第三に、太陽の周りの惑星の回転周期の二乗と、その軌道の半主軸の立方体（つまり、太陽からの平均距離）の比率は、太陽系のすべての惑星で一定です。

おそらくこれは第XNUMX法則でした。それを確立するには多くのデータと計算が必要であり、ケプラーは惑星の動きと位置のパターンを探し続けるようになりました。彼の新しい「発見」の歴史は非常に有益です。古くから、正多面体だけでなく、宇宙にはXNUMXつしかないという議論も賞賛してきました。 XNUMX次元多面体は、その面が同一の正多角形であり、各頂点のエッジの数が同じである場合、正多角形と呼ばれます。実例として、正多面体の各コーナーは「同じように見える」必要があります。最も有名な多面体は立方体です。誰もが普通の足首を見たことがあります。

正四面体はあまり知られておらず、学校では正四面体と呼ばれています。ピラミッドのように見えます。残りの360つの正多面体はあまり知られていません。立方体のエッジの中心を接続すると、八面体が形成されます。十二面体と二十面体はすでにボールのように見えます。柔らかい革でできているので、掘り心地が良いでしょう。 XNUMXつの正多面体以外に正多面体がないという推論は非常に良いです。まず、ボディが正多角形の場合、同じ数（q）の同一の正多角形が各頂点に収束する必要があることを認識します。これらをp角とします。ここで、正多角形の角度を覚えておく必要があります。誰かが学校を覚えていない場合は、正しいパターンを見つける方法を思い出させます。私たちは角を曲がったところを旅した。各頂点で、同じ角度aを回転します。ポリゴンを一周して始点に戻ると、このようにp回転し、合計でXNUMX度回転しました。

しかし、αは計算したい角度の180度の補数であるため、

正多角形の角度（数学者は言う：角度の測度）の公式を見つけました。確認しましょう：三角形p = 3には、

このような。 p = 4（正方形）の場合、

度も大丈夫です。

五角形で何が得られますか？したがって、q個のポリゴンがあり、各pが同じ角度である場合はどうなりますか

XNUMXつの頂点で度が下がっていますか？それが平面上にある場合、角度が形成されます

360 度を超えることはできません。これは、ポリゴンが重なるためです。

ただし、これらのポリゴンは空間で交わるため、角度は全角度より小さくする必要があります。

そして、ここにそれがすべて続く不等式があります：

それを180で割り、両方の部分にpを掛け、（p-2）（q-2）<4の順序で計算します。次は何ですか。 pとqは自然数でなければならず、p> 2（なぜ？そしてpとは何ですか？）そしてq>2であることに注意しましょう。4つの自然数の積を1未満にする方法は多くありません。それらすべてを表XNUMXにリストします。

私は絵を投稿しません、誰もがこれらの図をインターネット上で見ることができます...インターネット上...私は叙情的な余談を拒否しません-おそらくそれは若い読者にとって興味深いでしょう。 1970年に私はセミナーで講演しました。テーマは難しかったです。準備する時間がほとんどなかったので、夕方に座っていました。メインの記事は読み取り専用でした。その場所は居心地が良く、働く雰囲気があり、まあ、XNUMX時に閉店しました。すると花嫁（今は私の妻）自らが、私のために記事全体、つまり印刷された約十ページ分を書き直すことを申し出てくれました。私はそれを書き写し（いえ、羽ペンではなく、ペンさえありました）、講義は成功でした。今日、私はすでに古いこの出版物を見つけようとしました。著者の名前だけは覚えています...インターネットでの検索は長時間続きました...まるまるXNUMX分かかりました。私はにやにや笑いながら、少し不当な後悔をしながらそれについて考えます。

に戻ります ケプラーと幾何学。どうやら、プラトンは全世界をカバーする統一的な何かを欠いていたので、XNUMX番目の通常の形の存在を予測しました。おそらくそれが彼が学生（Theajtet）に彼女を探すように指示した理由です。それがそうであったように、それは、十二面体が発見された基礎となった。私たちはこのプラトン汎神論の態度を呼びます。ニュートンに至るまでのすべての科学者は、多かれ少なかれそれに屈した。非常に合理的なXNUMX世紀以来、その影響力は劇的に減少しましたが、私たち全員が何らかの形でそれに屈したという事実を恥じるべきではありません。

ケプラーの太陽系構築の概念では、すべてが正しく、実験データは理論と一致し、理論は論理的に首尾一貫していて、非常に美しい...しかし完全に誤りでした。彼の時代には、水星、金星、地球、火星、木星、土星のXNUMXつの惑星しか知られていませんでした。なぜ惑星がXNUMXつしかないのですか？ケプラーは尋ねた。そして、どのような規則性が太陽からの距離を決定しますか？彼はすべてがつながっていると思いました 幾何学と宇宙進化論 互いに密接に関連しています。古代ギリシャ人の著作から、彼は正多面体がXNUMXつしかないことを知っていました。彼は、XNUMXつの軌道の間にXNUMXつのボイドがあることを見ました。では、これらの空きスペースのそれぞれが正多面体に対応しているのではないでしょうか。

数年間の観測と理論的研究の後、彼は次の理論を作成しました。その助けを借りて、1596年に出版された本「MysteriumCosmographicum」で提示した軌道の寸法を非常に正確に計算しました。その直径は、太陽の周りの毎年の動きにおける水星の軌道の直径です。次に、この球体に通常の八面体、球体、二十面体、再び球体、XNUMX面体、別の球体、四面体、そして球体、立方体があると想像してください。そして最後に、この立方体に球が描かれています。

ケプラーは、これらの連続した球の直径が他の惑星、水星、金星、地球、火星、木星、土星の軌道の直径であると結論付けました。この理論は非常に正確であるように思えました。残念ながら、これは実験データと一致しました。そして、数学理論の正しさの証拠として、実験データや観察データ、特に「天から得た」データとの対応以上のものがあるでしょうか? これらの計算を表 2 にまとめます。では、ケプラーは何をしたのでしょうか? うまくいくまで、つまり、球の構成（順番）や計算結果が観測データと一致するまで、試行錯誤しました。最新のケプラーの数値と計算は次のとおりです。

理論の魅力に屈し、ワークショップの沈黙の中で行われた計算ではなく、空での測定が不正確であると信じることができます。残念ながら、今日、私たちは少なくともXNUMXつの惑星があり、結果のすべての偶然の一致は単なる偶然の一致であることを知っています。同情。とてもきれいでした...