数学の素晴らしさの中で、自分をだまし、操作し、好ましい光の中で提示する方法は？

2020 年 5000 月の初めに、Mateusz Morawiecki は Center for Mathematical Modeling の数学者に、女性のストライキが感染を XNUMX 人増加させたことを示したと言及しました。氏によるスピーチ - マテウシュへ。

強調しておきたいのは、記事のタイトルとは裏腹に、私は現首相を賞賛したり批判したりするつもりはない。 私はそう思います 数学 は彼の得意分野ではありませんが、そのような知的な欠陥は、あなたのほとんどから異議を唱えることはありません。 そして一般的に、偉大な数学者は責任ある立場にあるが、人生や政治において賢明ではないのではないでしょうか? また、Donald Tusk が以前の大統領選挙で、(冗談めかして)「ダウンロードせずに数学の試験を書くことはできない」と言ったことにも触れておきます。 ご存知のように、数学の雲は私と同じようにあなたの男です。 ジュリアン・トゥウィムは、数学の無知について気取っていました。 そして、彼らは私を理事会に呼びました。 ポーランドで数学の初演があったことだけは特筆しておきます。 それは（1882回）カジミェシュ・バーテル、1941年からXNUMX年、リヴィウ工科大学の学長であり、優れた幾何学者でした。 私は彼の治世を判断することはできませんし、試みもしません。

口を拭くのは世界共通であり、古くからあります。 これについては、薄い本も厚い本も書かれています。 たくさんの方法がありますので、いくつか紹介しますが、まずは太い糸で縫う方法から始めます。 おそらく、過去にはさらにそのような方法があったでしょう。 サミュエル・ボグミル・リンデ （1807年から1814年に出版）次のように書かれています。

数学者、数理数学者、数学ジャグラー。

私たちは最も単純な行動を知りません、そして私たちは本当に自分自身を証明したいと思っています。 数年前、Olsztyn のジャーナリストが、製造業者がどのように私たちをだましているかについて長い暴露記事を書きました。 たとえば、バターのパックには「脂肪分 85 パーセント」と書かれていますが、85 パーセントは立方体ですか、それともキログラムですか? ポーランド中が鳴いた。 しかし、賢明な数学教師 (つまり、すべての数学教師!) だけが、何年も前に元首相の 150 人であるカジミール マルツィンケビッチの推論の誤りに気づきました。 見やすいように数字を少し変えてみます。 彼は次のように言いました。道路建設に 50 億 100 万ズウォティを費やし、ブリュッセルから 50 万ズウォティを受け取ったので、50 だけを使います。100% 節約できました。 50/100 は 150% です。 間違いはどこですか？ また、100 億ドルあれば、いくら節約できますか? 間違いは微妙です。 パーセンテージについて言えば、どこから得たのかを明確にすることが重要です。 これは、教師が犯す非常に一般的な間違いです。 パーセンテージは 50 分の 150 と言います。 これは許可されていません。 33 パーセントですが、それは常に何かです。 20 を使って 5 を使うと、XNUMX のうち XNUMX を節約できます。これは XNUMX% です。 マルツィンケビッチ首相は物理の教師でした。 彼はパーセンテージを理解できないほど悪い教師だったか、または最高の政治的効果を得るために故意にパーセンテージを操作したかのどちらかです。 私は実際には後者を好むでしょう。 戦前の非常に古い逸話を思い出させてください。 「お父さん、今日はXNUMXセント貯まったよ！」 「とてもいいですよ、息子！ どうやって？ 「学校までトラムに乗らなかった、走ったんだ！」 「ああ、息子よ、タクシーをもう一度走れ。XNUMX ズウォティ節約できるぞ！」

アイデア、アイデア！ いわゆる創造的な会計の考え方のほとんどは、法律の抜け穴（膝に書かれた法律＝くだらない）に基づいており、平均という概念によって混乱しています。 例を示します。平均給与を減らしながら、全員の給与を増やすにはどうすればよいでしょうか? シンプル: 低賃金の人を大量に雇用しながら、すでに雇用されている人たちに少額の昇給を与える。 平均は下がるだろう…そしてこの問題の状況では、世界賃金基金についての話はなかった。 伝えられるところによると、1989 年まで、ある国有企業の取締役はこのような行動をとっていました。

社会の多くの層の数学的文盲を利用し、数学 (??) と文学 (??) を組み合わせて、直接戦うことができます。 これは扇動的な架空のテキストです (ただし、参考のために 2010 年以前の実際の出版物に基づいています)。

看護師の待遇も良くなるよ。 1500年前、ソハチェフ郡の看護師の平均純給与はXNUMXズウォティでした。 昨年、政府は医療支出をXNUMX億ズロティ増加させた。 これは例年のXNUMX倍になります。 ヘルメネジルダ・コチュビンスカヤ中央臨床病院の看護師はこう言います: 私の先月の給料は 4500 ズロチでした。 これは、医療収益が XNUMX 倍という大幅な増加を意味します。

本当に騙す人がいないのか？ たとえ数値が同じであっても、ここで比較していることがわかります 平均給与 州立病院では、毎月1500人分の給料で働いています。 おそらくヘルメネジルダは看護師長で、今月は臨時シフトが多かったのではないでしょうか。その上、中央地区病院には特別な給与体系があるのでしょうか？ さらに、言及された500ズウォティは純賃金であり、コチュビンスカさんの賃金が純賃金であるか総額であるかは述べられていない。 500億というのは個人にとっては巨額だが、国家レベルでは何を意味するのだろうか？ 「500 億」という言葉のほうが「XNUMX 億」という言葉よりもプロパガンダとして聞こえやすいことにすぐに気付きましょう。 XNUMX億ズロチが何に使われたかは報じられていない。 なぜ３００万ズロチが２倍なのかは不明です。

どうすれば学習結果を向上させることができますか? 学校 X は、教育成績が低い (つまり、GPA が低い、ただしこれらは別のものです!) として教育当局から批判されています。 校長は状況を少しでも改善する方法を見つけます。 彼は数人の生徒をクラス A からクラス B に昇進させ、両方のクラスの平均点が向上するという目標を達成しました。

これはどのようにして可能でしょうか? GPA がクラス A の平均より低いが、クラス B の平均より高いクラス A の生徒がいる場合、その生徒をクラス B に移動しても同じ効果があります。 信仰はこの効果に基づいています メキスラフ・チュマ i レシェク・マザン、ガリシア百科事典（アナバシス出版社、クラクフ）の著者らは、ヴァーサ・ジギスムント３世とその宮廷がワルシャワに移転した日、両都市の平均知能レベルが上昇したと述べている。

私たちはデータを解釈する傾向があります。 これは最も一般的な非初歩的なストレッチです。 最も愚かだが最も信頼できる例から始めます。 何年も前、今はなきヴィツォルヌィ急行紙は、ワルシャワ大学の平均給与は 15000 24 PLN (当時は PLN) であると報じていました。 学長は最高の給与である6、最低の開始助手である15を受け取ることになっていました。平均はXNUMXです！ 操作 平均という概念はハビリテーションのトピックです。

さらに 12,5 つの例を示します。 ポーランドの平均的な人の足は 100 本未満であることをご存知ですか? はい、100 つ持っている人はいますが、8 つ持っている人はいません。 8 番目の例は、より微妙です。 さて、妻と私は自分の車を持っています。 私のキャリアは、100 km あたり 8 リットルという大量の燃料を消費します。 これは、12,5 km に 2 リットル必要であることを意味します。 私の妻は小さな三菱を持っています.10,25 kmあたりXNUMXリットルを消費します. これも多いですが、計算を簡単にするために、データを少し処理する必要があります。 私たちはしばしば同じものに乗ります。 したがって、XNUMX 台の車の平均燃費は XNUMX と XNUMX の算術平均です。 合計して XNUMX で割ると、XNUMX リットルになります。 もちろん、いつも同じように乗ることが重要です。 では、操作の余地はどこにあるのでしょうか?

ああ、ここね。 米国では燃費の計算方法が異なることをご存知ですか? 彼らはこう答えるでしょう、「8 ガロンから非常に多くのマイルが得られます。」 ガロンからリットル、マイルからキロメートルへの変換はそのままにしておきますが、これを上記の車、つまり私の車と私たちの結婚唯一の監視評議会に適用してみましょう。 私は 100 リットルで 12,5 km (12,5 割る 100) だけ移動しますが、妻は 8 km (10 割る 10,25) です。 平均して、XNUMX リットルには、これらの数値の算術平均がかかります。 これはすでに一度計算しています。 それは XNUMX と XNUMX 分の XNUMX であることがわかり、今回は XNUMX キロメートルです。

ヨーロッパの基準に戻りましょう。 10,25リッターで100km走ると、100には何リッターが必要ですか? 電卓を使ってみましょう: 10,25 を 9,76 で割ると ... 9,76 です。 私たちの車の平均消費量は 10,25 ... それ以前は XNUMX でした。 間違いはどこですか？ いいえ！ 実際、数学ではなく、「私たちは等しく頻繁に旅行する」という言葉の解釈においてです。 注意深く分析すると、これは最初の解釈では「月に同じ距離を走る」ことを意味し、XNUMX 番目の解釈では「同じ量のガソリンを使用する」ことを意味することがわかります。 XNUMX 番目の変数を追加することができます: 私たちは同じ時間を運転に費やしています (妻ははるかに速く運転しています)…そしてそれは異なります. 何かを測定する場合は、メジャーが必要です。

さらに微妙な状況。 シンプソンのパラドックス。 コカ・コーラとペプシ・コーラのどちらがフケをよりよく除去するかを調べてみましょう。 女性と男性を対象にテストを行います。 データは次のとおりです。 ほとんどすべての計算はメモリ内で実行できます。

読者さん、お座りください。 気持ちが抜け落ちないように。 男性のフケを取り除くのに最適な飲み物はどれですか? 大きい数字を赤、小さい数字を青でマークしました。 25は20よりも大きいですよね？ 紳士：フケ対策にはコカ・コーラを買ってください！ 女性はどうですか？ おそらくその逆でしょうか？ いいえ、60>53。女性の皆さん、コカ・コーラを飲みましょう。

同社はテレビの広告を購入し、幸せなカップル（昔ながらの言い方：男性と女性）がコカ・コーラの助けを借りてこの軽い病気を克服します。 しかし、ペプシのコマーシャルがあります。 そうですね、こことここの両方でテストに参加した人は 250 人でしたので、これは同じ数を意味します。 コカ・コーラは 80 人 (32%) を助け、ペプシは 100 人 (40%) を助けました。 画面上では、ペプシの缶がカメラの前で転がる中、群衆がフケを落としている。 「私たちの世代はすでに選んでいます！」

どこが間違いなのでしょうか？ いいえ。 つまり、数学は大丈夫です。 というか、ただ、 算術。 数学的に正しくするには、M と K の比率が同じである比較可能なサンプルを取得する必要があります。そうでないと、蚊と象の平均体重を計算するのと同じように、計算は無意味になります。 足してXNUMXで割ることもできます。 私たちは何を計算したのでしょうか？ そうですね、蚊と象の平均体重です。 これは私たちに何をもたらすのでしょうか？ スレッド。

しかし、これをアメリカの政治に移しましょう。 候補者の一人、バンプ氏の支持者は泣くだろう、「紳士淑女にとって私たちの方が良い」と。 ヨゼフ・ポツコックに投票してください！ トライデンのサポーターは横断幕にこう書きます。「私たちは世界中でより優れています。」 3デニールのアヒル（ドナルド）に投票してください。

さて、実際にはどうですか？ これは最も難しい部分です。 「本当に」とはどういう意味ですか? 「真実とは、現実と一致するものである」と言えます。 しかし、「現実への対応」をどのように測定するかという別の問題が生じます。 しかし、これはもはや数学ではありません。ここでのみ自信を持っているので、それに固執したいと思います。

このパラドックス（と呼ばれる）については、 シンプソンズのパラドックス) は、非常に多くの他のものに基づいています。 数学では XNUMX 年前から知られていましたが、(比較的) 最近、社会科学が関心を持っています。 それはすべて、アメリカの大学のXNUMXつで、学長が女の子が男の子よりもはるかに受け入れられていないことに気づいたという事実から始まりました。 彼女は学部長に報告を求めました...そして、すべての学部で、合格者と候補者の比率は、男子よりも女子の方が高く、まったく逆であることが判明しました。 読者は、ペプシとコカ・コーラの例を大学の学部の状況に当てはめることをお勧めします。

さらに微妙な状況。 数学の世界では誰もが「ネブラスカの例」を知っています。 ネブラスカ州のどこかで、店が荒らされ、レジが強盗されました。 目撃者は、これが奇妙なカップルによって行われたことを覚えているだけでした.あごひげを生やした浅黒い肌の男性と東洋の特徴を持つ女性. 彼らは（映画のようにタイヤがきしむ音を立てて）黄色のトヨタで出発した。 数時間後、警察は拘束した...黄色のトヨタ車で、アジア人女性を伴ったひげを生やしたアフリカ系アメリカ人が乗っていた。 「それはあなたです！」。 手錠、法廷。 経験豊富な数学者は、そのようなセット (黒人 + アジア人 + 黄色のトヨタ) が非常にユニークであるため、強盗の 99,999% が必要であると計算しました。 彼はホールに暗記された用語を投げました：基本イベント、ベルヌーイ図、接続詞。 カップルは座りに行きました。 しかし、彼らは最高の数学者を雇い、控訴状で次のように述べました。 自分で判断してください、私の前任者は、XNUMX人の乗客がいるランダムに遭遇した車が黄色のトヨタと黒のトヨタであり、日本人女性である確率は、そのようなものであると計算しました。 しかしここでは、条件付き確率という別の問題を解決する必要があります。 そのようなペアがすでに存在することがわかっている場合、別のペア (マシンの電源を入れた場合は XNUMX つ) に出会う確率はどれくらいですか。 »

裁判官が議論の一部を理解したかどうかはわかりません。 おそらく、答えは状況の選択によって決まるということだけでしょう。 それで十分でした。 彼は判決を覆した。

柱で頭を殴る。 私たちは常にこの種のデマゴギーを扱ってきました (1)。

バーはひどいです：石炭の価格は161倍になっています。 数字を見ると勇気づけられます。実際、トン当たり 169 ズウォティから 2020 ズウォティに増加しました (具体的には何パーセントですか?)。 しかし、ほとんどの人は視覚的に学習するので、数字ではなくグラフを覚えます。 政治的な議論には立ち入ることなく、同様の手法が政府によって使用され（XNUMX年夏のもの）、がんへの支出の増加が導入されたと言わざるを得ません。 これはこの政府に対する批判ではありません。 次回もこの方法を使用します。 安全であり、即時（「目に見える」）効果があります。

マスクを着用しましょう。 伝染病の蔓延の法則は単純で、「それ自体」は容赦ない。 感染者の数は急速に増加しており、すでに多くの感染者がいます。 これが雪崩の進み方です。 それは数学が言うことです。 ただし、大きな「しかし」があります。おそらく複数あります。 まず、「何も起こらない」間はそうです。 森の雪崩が止み、私たち全員の賢明な行動によって伝染病が減速したとき、私たちは数学に「感謝」するよりも、別のモデルを作成します。 はい、別の数学的モデルです (ネブラスカの店舗強盗の例のように)。 美しい科学である数学は、世界を理解するのに役立つだけです。 たくさんありますが、それだけです。 見てみましょう: ポールを使ってほぼ 2,50 メートルジャンプしますが、それがなければ XNUMX メートルもジャンプできません。 次に、ポールを手に取り、ジャンプします。 彼はめちゃめちゃ迷惑ですよね？

の使用 社会科学における数学 それは難しく、危険であり、さらに悪いことに誘惑的です。 タトラの愛好家は、この渓谷をドレーゲ渓谷と関連付けます。ガーネットからチョルニー・スタヴまでの緩やかな草の茂った下り坂です。上から見るとこんな感じです。 すぐに渓谷は罠に変わり、そこから私たちを救えるのは TOPR、タトラボランティア救助隊だけです。

数学者はこの雪崩と伝染病の増加を指数関数的成長と呼びます。 すでに書いたように、この成長は抑制できますが、再び抑制することはできません。 ただし、同じ曲線の 2 つのグラフ (スケールが異なるだけ) を見てみましょう。 理解できる人のために、この関数の公式を次に示します: y = XNUMX^x1,5つを電源にします。 チャートを見てください。 成長が急速に加速するのはどの時点ですか? それぞれは、これが大きな点でマークされた点に多かれ少なかれ近いことを示します。 ただし、最初のグラフではこの値は 3 に近く、4,5 番目のグラフでは 2 を超え、XNUMX 番目のグラフでは XNUMX です。 街頭デモがあった場合、私たちはこう言えます。「そうですね、お願いします。デモの瞬間からカーブは上がりました、急激に上がりました。」と言うことができます。 数学の偉大さの中に！ そして、これは単なる指数曲線の特性です。 適切なスケールと急加速を開始するポイントを自由に選択できます (XNUMX)。

大統領選挙…もちろんアメリカで。 2020年1月の茶番劇は今でも覚えている。 依然として第一位の大国であるこの国は、ページ数が追いついていない。 最終的に判明したのは、 ジョー・バイデン 彼はより多くの選挙人票を獲得しただけでなく、単純多数決で決定が下されていれば勝っていただろう. 私が説明する状況では、数学的操作はありません。選挙の結果が採用された決議にどのように依存するかを示す例にすぎません。 知っていれば、抗議するのは難しいです。 サッカーのディフェンダーは、ハンドボールの禁止が間違っていると考えるかもしれませんが、それが無視された場合、ペナルティが与えられます.

次の人々がギリシャ大統領に立候補していると想像してください。 アポロニウス, ユークリッド, ヘロン, ピタゴラス i そのような。 有権者が選んだ人が大統領になる。 彼らは 100 人おり、普通選挙によって選出され、その後議会に代表される政党、つまりサーカス マキシムスが優先順位を定めました。 Circus Maximus はギリシャ語の名前ではなくラテン語の名前なので、何かが間違っています。 しかし、情報源について議論するのはやめましょう。

誰が大統領になるのでしょうか？ これが叙階にどのように依存するかを見てみましょう。 政党の好みは、その有権者が次のラウンド以降の選挙で残っているリストの最初の人に投票するという方法で理解されるべきである。

1. 判決で、最も多くの投票者を獲得した候補者が勝利すると規定されている場合、ピタゴラスは 25 + 9 = 34 人の有権者によって選出されるため、勝利することになります。 これは、例えば学校で最も優秀な生徒を選ぶときに起こることです。 私たちの代わりに: ピタゴラスは人々に選ばれたのです！
2. 現代の大統領選挙では第50ラウンド制が最も多く採用されています。 34 人の候補者に投票しますが、20% を超える候補者がいない場合は、第 66 ラウンドが開催されます。 勝者は、絶対多数の票を獲得した人、つまり、単純に対戦相手よりも多くの票を獲得した人です。 この状況では、ピタゴラス (34 票) とタレス (2001 票) が第 2005 ラウンドに進むことになります。 第 XNUMX ラウンドでは、有権者は自分の好みに従って票を割り当てます。 ピタゴラス派以外の人は、ピタゴラスよりもタレスを好みます。 これは、政党の支持層が厳しく、一般の消極的な雰囲気に囲まれている場合によくある状況です。 したがって、延長戦ではピタゴラスは一票も得られません。 結果はXNUMX:XNUMXでタレスが決定的な勝利を収めた。 同様の状況は XNUMX 年にスロバキアでも起こり、第 XNUMX 回投票で明らかに勝った候補者が第 XNUMX 回目で敗退した。 XNUMX 年のポーランド大統領選挙でも同じことが起こりました。指導者は第 XNUMX 回投票に続き、第 XNUMX 回投票で敗北しました。 大統領物語万歳！
3. 自転車競技はいわゆるオーストラリア方式を採用しています。 トラックの各周の後、最後の周が排除されます。 このバージョンの選挙法は「取締役の選挙」と呼ばれます。 独立ポーランドの初代大統領ガブリエル・ナルトヴィチはこの制度のもとで選出された。 私たちのギリシャではどうなるでしょうか？

問題はもっと複雑です。 追跡してください。 第 19 ラウンドでは、Euclid が最少票を獲得し、脱落しました (なんて残念なことでしょう。すばらしい数学者です!)。 その後、党は第 10 ラウンドでリストの 29 番目の候補であるツァプリヤに投票します。 第 17 ラウンドでは、ヘロンは 34 + 20 = 29 票を獲得しました。 アポロニウスが脱落 (17 票)。 パーティーをしてから、ヘロンに投票してください。 第 46 ラウンドでは、ピタゴラス (固定有権者) が 66 票、タレスが 34 票、ヘロンが XNUMX + XNUMX = XNUMX 票です。 物語は出ています。 ファレシアン (パーティー B) もピタゴラス派が好きではありません - 彼らはヘラルドを好みます。 安定したパーティ A と E を除いて、他のパーティも同様です。 ビバット社長サギ！

     4. ユーロビジョン ソング コンテストでは、リストの 12 位に 10 ポイント、9 位に 6 ポイント、4 位に 3 ポイントなどが与えられました。 ほぼ同じスコアの2-1-1958-XNUMX-XNUMXと仮定しましょう。 このようにして、XNUMX つの陸上競技の試合 (各競技で XNUMX つのチーム、XNUMX 人の選手が参加します。XNUMX 年にはポーランドがアメリカとイギリスを破りました!) でポイントが与えられました。 結果は次のようになります。

Euklides:       4+2+3+4+6+4=23.

Apoloniusz:  2+3+4+5+3+3=20.

Цапля: 1+4+6+3+4+1=19.

Сказки: 3+6+2+2+2+2=17.

Pitagoras:     6+1+1+1+1+6=16.

ギリシャの皆さん、ユークリッド大統領がここにいます！

     5. 読者は、投票を数えるだけでアポロニウスが最高であることがわかると推測しています。 そして確かに、アポロニウスは最高です - 彼が最高だからです。 全員がアポロニアスに負ける！ なぜ？

何人の選挙人がアポロニウスをヘロンよりも上位に置いたでしょうか？ 数えてみましょう: 25+17+9=51、これは過半数を意味します。 それほど多くはありませんが、それでもです。

アポロニウスはユークリッドよりどれくらい進んでいますか? 20 + 19 + 17 = 56 がほとんどです。

タレスよりアポロニウスを好む人が何人いるか: 19+17+10+9=55>50。

最後に、ピタゴラスのアポロニウスは、20 人中 19 + 17 + 10 + 66 = 100 人の選挙人を好みます。

それ以来 - 論理的に考えることができるギリシャの人々 - それ以来、何よりも、アポロニウスは他の候補者を好みます。 結局のところ、次の学期に向けて私たちを支配するのは彼です! 近づいてください、アポロニアス、私たちの選出された大統領！ あなたは私たちの44歳になります。

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