コロナウイルスと数学教育 – 部分的に注文されたコレクション

私たちを襲ったウイルスは、急速な教育改革を推進しています。特に高等教育では。このトピックについては、より長いエッセイを書くことができます。遠隔学習の方法論に関する博士論文の流れは確かにあります。ある観点からは、これはルーツへの回帰であり、独学の忘れられた習慣への回帰です。そのため、たとえば、クレメネッツ中等学校（現在はウクライナにあるクレメネツで、1805〜31年に存在し、1914年まで植生し、1922〜1939年に全盛期を迎えました）でした。生徒たちはそこで独学で勉強しました - 彼らが学んだ後にのみ、教師は修正、最終的な説明、困難な場所での助けなどをもたらしました. e. 私が学生になった時、彼らは自分たちで知識を身に付けるべきだとも言いました。しかし、当時は単なる理論でした...

2020年の春、多くの作業を犠牲にして、レッスン（講義、演習などを含む）をリモート（Google Meet、Microsoft Teamsなど）で非常に効果的に実施できることを発見したのは私だけではありません。一方、教師の側では、「教育を受けたい」という願望だけです。しかし、ある程度の快適さもあります。私は家に座って、肘掛け椅子に座って、伝統的な講義では、学生もしばしば何か他のことをしました。このようなトレーニングの効果は、中世にまでさかのぼる従来のクラスレッスンシステムよりもさらに優れている可能性があります。ウイルスが地獄に落ちたとき、彼に何が残るでしょうか？私は…かなりたくさんあると思います。しかし、私たちは見るでしょう。

今日は半順序集合についてお話します。簡単だ。空でない集合Xの二項関係は、存在する場合、半順序関係と呼ばれるためです。

（Tadeusz Kotarbinski、1886-1981、哲学者、

1957年から1962年にポーランド科学アカデミーの学長）。

反射的、つまり各∈に対して "、
通行人、すなわち「、および」の場合、「、
半非対称、すなわち（«∧«）→ =

文字列は、次のプロパティを持つセットです。任意の XNUMX つの要素について、このセットは「または y」のいずれかです。アンチチェーンは…

やめて、やめて！これのどれかが理解できますか？もちろん。しかし、読者のいずれか（他のことを知っている）は、ここに何があるかをすでに理解していますか？

私は思いません！そして、これは数学を教えることの規範です。学校でも。まず、きちんとした厳密な定義、そして退屈で眠りに落ちなかった人は間違いなく何かを理解するでしょう。この方法は、数学の「偉大な」教師によって課されました。彼は注意深く厳格でなければなりません。これが最終的にはどうあるべきかということは事実です。数学は正確な科学でなければなりません（も参照してください： ).

ワルシャワ大学を退職した後、私が働いている大学では、私も長年教えていたことを告白しなければなりません。その中には、悪名高い冷たい水の入ったバケツしかありませんでした（そのままにしておいてください。バケツが必要でした！）。突然、高度な抽象化が軽くて楽しいものになりました。注意を向ける：簡単とは簡単という意味ではありません。ライトボクサーも苦労します。

思い出に微笑む。当時のアメリカでの長期滞在からやってきた一流の数学者である当時の学部長から数学の基礎を教えられましたが、それ自体が並外れたものでした。彼女がポーランド人を少し忘れたとき、彼女は少しおしゃべりだったと思います。彼女は古いポーランド語の「何を」、「したがって」、「ツツジ」を乱用し、「半非対称の関係」という用語を作り出しました。私はそれを使うのが大好きです、それは本当に正確です。好き。しかし、私はこれを学生に要求しません。これは一般に「低反対称」と呼ばれます。 XNUMXの美しいもの。

むかしむかし、（前世紀の）XNUMX 年代に、数学の教え方に大規模で楽しい改革があったからです。これは、エドゥアルド・ギエレクの治世の短い期間の始まりと一致しました-私たちの国が世界に開かれたことです。「子供たちにも高等数学を教えることができます」と偉大な教師たちは叫びました。大学の講義「数学の基礎」を子供向けにまとめました。これはポーランドだけでなく、ヨーロッパ全体の傾向でした。方程式を解くだけでは十分ではなく、すべての詳細を説明する必要がありました。根拠のないことを避けるために、各リーダーは連立方程式を解くことができます。

しかし、学生は各ステップを正当化し、関連するステートメントを参照する必要がありました。これは、内容に対する形式の古典的な過剰でした。今、私は批判しやすいです。私もかつてこのアプローチの支持者でした。それはエキサイティングです...数学に情熱を持っている若者にとって。もちろん、これは（そして、注意のために、私は）そうでした。

しかし、十分な余談があります。ビジネスに取り掛かりましょう。「理論的に」、工科大学のXNUMX年生を対象とした講義で、彼女がいなければココナッツフレークのように乾いていたでしょう。少し誇張しています...

おはようございます。今日のトピックは、部分的なクリーニングです。いいえ、これは不注意な掃除のヒントではありません。最良の比較は、トマトスープとクリームケーキのどちらが優れているかを検討することです. 答えは明らかです。デザートにはクッキー、栄養価の高い料理にはスープを。

数学では、数を扱います。 それらは順序付けられています。それらは大きくなり、小さくなりますが、XNUMXつの異なる数のうち、一方は常に小さくなります。つまり、もう一方は大きくなります。アルファベットの文字のように順番に並べられています。クラスジャーナルでは、順序は次のようになります：Adamchik、Baginskaya、Khoinitsky、Derkovsky、Elget、Filipov、Gzhechnik、Kholnitsky（彼らは私のクラスの友達でありクラスメートです！）。また、Matusyak "Matushelyansky"Matushevsky"Matisyakであることも間違いありません。「二重不等式」の記号は「前」を意味します。

私の旅行クラブでは、リストをアルファベット順にしようとしていますが、名前では、たとえば、AlinaWrońska「WarvaraKaczarska」、Cesar Bouschitzなどです。公式記録では、順序が逆になります。数学者はアルファベット順を辞書式順序と呼びます（辞書は多かれ少なかれ辞書に似ています）。一方、XNUMXつの部分（Michal Shurek、Alina Wronska、Stanislav Smazhinsky）で構成される名前で、最初にXNUMX番目の部分を見るような順序は、数学者にとって反辞書式順序です。長いタイトルですが、非常にシンプルなコンテンツです。

1.線形順序：1899年に建設されたポドハレからのハボフカ-ザコパネ鉄道の駅と停車駅（略語の解読は読者に任せます）。

このような注文はすべてライン注文と呼ばれます。最初、XNUMX番目、XNUMX番目の順番で注文します。最初のポイントから最後のポイントまで、すべてが順調です。必ずしも意味があるとは限りません。結局のところ、私たちはこのようにではなく、セクションに本を配置します。部門内でのみ、直線的に（通常はアルファベット順に）配置します。

2.線形順序：車のエンジンを始動するとき、一貫した順序でアクションを実行します。

大規模なプロジェクト、特にチームワークでは、線形の順序はなくなりました。を見ようよ 図。 3。小さなホテルを建てたいです。すでにお金があります（セル0）。許可証の作成、資材の回収、着工、広告宣伝、従業員探しなどを行っています。「10」に達すると、最初のゲストがチェックインできます（Dombrowski氏とクラクフ郊外の小さなホテルの話の例）。我々は持っています 非線形次数 – いくつかのことが並行して発生する可能性があります。

経済学では、クリティカルパスの概念について学習します。これは、順番に実行する必要があり (数学ではチェーンと呼ばれます。これについては後で詳しく説明します)、最も時間がかかるアクションのセットです。構築時間の短縮は、クリティカルパスの再編成です。ただし、これについては他の講義で詳しく説明します（「大学の講義」を読んでいることを思い出してください）。私たちは数学に焦点を当てています。

図3のような図は、ハッセ図と呼ばれます（Helmut Hasse、ドイツの数学者、1898–1979）。すべての複雑な取り組みは、このように計画する必要があります。アクションのシーケンスが表示されます：1-5-8-10、2-6-8、3-6、4-7-9-10。数学者はそれらを文字列と呼びます。全体のアイデアは1つのチェーンで構成されています。対照的に、活性グループ2-3-4-5、6-7-8、および9-XNUMXは反鎖です。これが彼らの名前です。実際のところ、特定のグループでは、どのアクションも前のアクションに依存していません。

4.これもハッセ図です。

行こう 4デッサン。何が印象的ですか？しかし、それはある都市のメトロマップかもしれません！地下鉄道は常に一列に並んでいます-それらは互いに通過しません。線は別の線です。イチジクの街で。 4は オーブン 行（覚えておいてください オーブン それは「太字」と書かれています-ポーランド語ではそれは半分の厚さと呼ばれます）。

この図（図4）には、短い黄色のABF、XNUMXステーションのACFPS、緑色のADGL、青色のDGMRT、および最長の赤色のACFがあります。数学者は言うでしょう：このハッセ図は オーブン チェーン。赤い線の上にあります 7 駅：AEINRUW。反鎖はどうですか？それらがあります 7。読者は私が単語に二重下線を引いたことにすでに気づいています 7.

反鎖これは、転送なしでそれらのXNUMXつから別のステーションに移動することは不可能なようなステーションのセットです。少し「理解」すると、次の反鎖が表示されます：A、BCLTV、DE、FGHJ、KMN、PU、SR。たとえば、どのBCLTVステーションからも、転送なしで別のBCTLVに移動することはできません。正確には、以下に示すステーションに戻る必要はありません。反鎖はいくつありますか？七。最大のサイズはどれくらいですか？焼く（再び太字で）。

学生の皆さん、これらの数字の一致は偶然ではないことを想像できます。これ。これは、1950年にRobert Palmer Dilworth（1914–1993、アメリカの数学者）によって発見され、証明されました（つまり、常にそうです）。セット全体をカバーするために必要な行の数は、最大の反鎖のサイズに等しく、その逆も同様です。反鎖の数は、最長の反鎖の長さに等しくなります。これは、半順序集合の場合は常に当てはまります。視覚化できるもの。 ハッセ図。これは厳密で正しい定義ではありません。これは数学者が「実用的な定義」と呼んでいるものです。これは「作業定義」とは多少異なります。これは、半順序集合を理解する方法のヒントです。これはトレーニングの重要な部分です。どのように機能するかを確認してください。

英語の略語は-この単語はスラブ語で美しく聞こえ、アザミのようです。アザミも枝分かれしていることに注意してください。

とてもいいですが、誰がそれを必要としますか？親愛なる学生の皆さん、試験に合格するためにそれが必要です。これはおそらくそれを勉強するのに十分な理由です。私は聞いています、どんな質問ですか？私は聞いています、窓の下から紳士。ああ、問題は、これがあなたの人生で主に役立つことはありますか？たぶんそうではないかもしれませんが、確かにあなたより賢い人にとっては...複雑な経済プロジェクトのクリティカルパス分析のためかもしれませんか？

私がこの文章を書いているのは XNUMX 月中旬で、ワルシャワ大学で学長選挙が行われています。インターネットユーザーからのコメントをいくつか読みました。「教育を受けた人々」に対する憎しみ（または「憎しみ」）の驚くべき量があります。大卒者は大卒者よりも知識が少ないと率直に書いた人がいます。もちろん、私は議論に参加しません。ポーランド人民共和国で確立された意見が、ハンマーとノミですべてを行うことができるという意見に戻ってきているのは悲しいことです。数学に戻ります。

ディルワースの定理 いくつかの興味深いアプリケーションがあります。それらのXNUMXつは、結婚の定理として知られています。図。 6).

女性のグループ（むしろ女の子）と少し大きい男性のグループがあります。すべての女の子はこのようなことを考えています：「私はこれと別の人と結婚することができましたが、私の人生のXNUMX分のXNUMXは決して結婚しませんでした。」など、誰もが自分の好みを持っています。私たちは図を描き、それぞれに祭壇の候補として拒否しない男からの矢を導きます。 Q：夫婦を一致させて、それぞれが受け入れる夫を見つけることができますか？

フィリップホールの定理、これは可能だと言っています-特定の条件下では、ここでは説明しません（次の講義で、学生にお願いします）。ただし、ここでは男性の満足度についてはまったく言及されていないことに注意してください。ご存知のように、私たちを選ぶのは女性であり、その逆ではないようです（私は著者ではなく著者であることを思い出してください）。

いくつかの深刻な数学。ホールの定理はディルワースからどのように導かれるか? とても簡単です。もう一度図 6 を見てみましょう。チェーンは非常に短く、長さは 2 です (方向に走っています)。小さな男性のセットはアンチチェーンです (まさに矢印が向かっているからです)。したがって、男性と同じ数のアンチチェーンでコレクション全体をカバーできます。したがって、すべての女性は矢を持っています。そして、それは彼女が受け入れる男のように見えることを意味します!!!

待って、誰かが尋ねる、それだけですか？全部アプリですか？ホルモンはどうにかして仲良くなるのに、なぜ数学なのか? まず、これはアプリケーション全体ではなく、大規模なシリーズの 6 つにすぎません。それらのXNUMXつを見てみましょう。 (図 XNUMX) は、より良いセックスの代表ではなく、平凡なバイヤーを意味します。これらは、たとえば、車、洗濯機、減量製品、旅行代理店のオファーなどのブランドです。各バイヤーには、彼が受け入れるブランドがあり、拒否します。すべての人に何かを販売するために何かできることはありますか?また、その方法は? これは、ジョークが終わるだけでなく、このトピックに関する記事の著者の知識でもあります。私が知っているのは、分析が非常に複雑な数学に基づいているということだけです。

学校で数学を教えることはアルゴリズムを教えることです。これは学習の重要な部分です。しかし、ゆっくりと私たちは数学的な方法ほど数学を学ぶ方向に進んでいます。今日の講義はまさにこれについてでした：私たちは抽象的な精神構造について話し、私たちは日常生活について考えています。私たちは、売り手と買い手のモデルで使用する逆、推移、およびその他の関係を持つセットのチェーンと反チェーンについて話しています。コンピューターがすべての計算を行います。彼はまだ数学モデルを作成しません。私たちはまだ私たちの思考で勝ちます。とにかく、できればできるだけ長く！