新しい機械の数学？ エレガントなパターンと無力感
一部の専門家によると、機械は人間が見たことも発明したこともないまったく新しい数学を発明したり、必要に応じて発見したりできるそうです。 機械は自ら何かを発明するわけではなく、私たちが知っている式を別の方法で表現することしかできず、一部の数学的問題にはまったく対処できない、と主張する人もいます。
最近、イスラエルのテクニオン研究所とグーグルの科学者グループが発表した。 自動定理作成システム彼らはこれを数学者の名前にちなんでラマヌジャン・マシンと名付けました スリニヴァシ・ラマヌジャン彼は、正式な教育をほとんど、あるいはまったく受けずに、数理論における何千もの革新的な公式を開発しました。 研究者らが開発したシステムは、多くの独自の重要な公式を数学に現れる普遍的な定数に変えました。 このテーマに関する研究は、雑誌『Nature』に掲載されました。
マシンによって生成された式の XNUMX つは、と呼ばれる汎用定数の値を計算するために使用できます。 カタルーニャ語番号、人間によって発見された以前に知られている公式を使用するよりも効果的です。 しかし、科学者たちは次のように主張しています。 ラマヌジャンの車 それは人々から数学を取り上げることを目的としたものではなく、むしろ数学者に支援を提供することを目的としています。 しかし、これは彼らのシステムに野心が欠けているという意味ではありません。 彼らが書いているように、マシンは「偉大な数学者の数学的直観を模倣し、さらなる数学的研究のための手がかりを提供しようとしている」。
システムは、連分数または連分数 (1) と呼ばれるエレガントな式で記述された普遍定数 (など) の値を推測します。 実数を特殊な形式の分数で表現する方法、またはその極限の名前です。 連分数は有限であることもあれば、無限に多くの商を持つこともありますi/bi; フラクションAk/Bk (k + 1) 番目から始まる連分数の部分商を破棄して得られる値は、k 番目のリダクトと呼ばれ、次の式を使用して計算できます。-1=1,A0=b0、B-1=0.V0=1、Ak=bkAk-1+akAk-2、Bk=bkBk-1+akBk-2; reduct のシーケンスが有限の極限に収束する場合、連分数は収束と呼ばれ、それ以外の場合は発散と呼ばれます。 次の場合、連分数は算術と呼ばれます。i=1、p0 完了、bi (i>0) – 自然。 算術連分数は収束します。 すべての実数は連算分数に展開されますが、これは有理数の場合にのみ有限です。
1. 円周率を連分数で書く例
ラマヌジャンマシンのアルゴリズム 左辺に普遍定数を選択し、右辺に連分数を選択し、ある程度の精度で各辺を個別に計算します。 両側が重なっているように見える場合は、一致が偶然または不正確でないことを確認するために、量がより正確に計算されます。 重要なのは、たとえば普遍的な定数の値を任意の精度で計算できる公式がすでに存在するため、ページの対応関係を確認する際の唯一の障害は計算時間であるということです。
このようなアルゴリズムを実装する前に、数学者は既存のアルゴリズムを使用する必要がありました。 数学的知識 i 定理そのような仮定を立てます。 アルゴリズムによって生成された自動推測のおかげで、数学者はそれを使用して隠れた定理やより「エレガントな」結果を再構築できます。
研究者らの最も注目すべき発見は、新しい知識というよりも、驚くほど重要な新しい仮定である。 これにより、 カタロニア語定数の計算、多くの数学的問題でその値が必要となる普遍的な定数。 新たに発見された仮定の下でこれを連分数として表現することにより、これまでで最も高速な計算が可能となり、より多くのコンピューター処理時間を必要とした以前の計算式を打ち破りました。 これは、コンピューターが最初にチェスプレイヤーに勝ったときと比較して、コンピューターサイエンスの新たな進歩点を示しているようです。
AIが処理できないもの
マシンアルゴリズム ご覧のとおり、彼らは革新的かつ効果的な方法でいくつかのことを処理します。 他の問題に直面しても、彼らは無力です。 カナダのウォータールー大学の研究者チームは、以下を使用して一連の問題を発見しました。 機械学習。 この発見は、前世紀半ばにオーストリアの数学者クルト・ゲーデルによって記述されたパラドックスに関連しています。
数学者のシャイ・ベンデイビッドと彼のチームは、Nature 誌の出版物で最大予測 (EMX) と呼ばれる機械学習モデルを発表しました。 一見単純なタスクは、人工知能には不可能であることが判明しました。 チームが提起した問題 シャイ・ベン・デイヴィッド 結局のところ、サイトを最も頻繁に訪問する読者を対象とした、最も収益性の高い広告キャンペーンを予測することになります。 可能性の数が非常に多いため、ニューラル ネットワークはサイト ユーザーの行動を正確に予測する関数を見つけることができず、自由に使えるデータのサンプルはわずかしかありません。
ニューラル ネットワークによって引き起こされる問題の一部は、ゲオルグ カントールによって提起された連続体仮説と同等であることが判明しました。 ドイツの数学者は、自然数の集合の累乗が実数の集合の累乗より小さいことを証明しました。 それから彼は答えられない質問をしました。 つまり、カーディナリティがカーディナリティよりも小さい無限集合が存在するかどうかを疑問に思いました。 実数のセットしかし、さらなるパワー 自然数の集合.
１９世紀のオーストリアの数学者。 クルト・ゲーデル 現在の数学体系では連続体仮説が決定不可能であることを証明しました。 ニューラル ネットワークを設計する数学者も同様の問題に直面していることが判明しました。
したがって、私たちには見えませんが、私たちが見るように、根本的な制限の前では無力です。 科学者は、たとえば無限集合などのこのクラスの問題について疑問を抱いています。
