ゼロで割ってみませんか?
読者は、なぜ私が記事全体をこのような平凡な問題に費やすのかと疑問に思うかもしれません。 その理由は、その名のもとに平気でこの作戦を実行する学生の数が驚異的（！）であるからだ。 そして学生だけではありません。 時々私は先生を捕まえます。 そのような教師の生徒は数学で何ができるようになるでしょうか？ このテキストを書く直接の理由は、ゼロ除算が問題ではなかった教師との会話でした。
ゼロの場合は、そうです。日常生活で実際に使用する必要がないため、まったく手間がかかりません。 私たちは卵ゼロを求めて買い物に行くわけではありません。 「部屋に XNUMX 人」はどこか自然に聞こえますが、「XNUMX 人」は人工的に聞こえます。 言語学者は、ゼロは言語システムの外側にあると言います。
銀行口座でもゼロなしで実行できます。温度計のように、正と負の値に赤と青を使用するだけです（温度の場合、正の数値に赤を使用するのが自然であり、銀行口座の場合は赤を使用することに注意してください借方は警告をトリガーする必要があるため、赤を強くお勧めします)。
自然数としてゼロを含めることで微分の問題に触れる 基数 od 家庭。 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、…以内。
数字のパワーは、その数字が立っている場所の数字と同じです。 それ以外の場合は、すでに 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、... の順序になっています。
シングルトン セットの数は XNUMX 番目に、XNUMX つの要素を持つセットの数は XNUMX 番目に、というように続きます。 たとえば、競技会の選手の順位を最初から数えない理由を説明する必要があります。 その後、XNUMX 位の勝者は銀メダルを受け取ります (金は XNUMX 位の勝者に与えられます)、などなど. サッカーでも同様の手順が使用されました - 「リーグ XNUMX」が「最善を尽くす。」 そして、ゼロリーグは「メジャーリーグ」と呼ばれる。
IT 担当者にとっては便利だから、ゼロから始めなければならないという議論を時々耳にします。 これらの考慮事項を続けると、キロメートルの定義を変更する必要があります-1024 m にする必要があります。これは、1000 キロバイトのバイト数であるためです (コンピューター科学者に知られているジョークを参照します。コンピューター サイエンスの学生で、この学部の 1024 年生ですか? XNUMX キロバイトは XNUMX キロバイトで、最後の - XNUMX キロは XNUMX メートルです")!
もう XNUMX つの観点は、すでに真剣に受け止められるべきですが、これは、常にゼロから測定するということです。 定規、家庭用秤、さらには時計の目盛りを見るだけで十分です。 私たちはゼロから測定し、数を数えるということは無次元単位の測定として理解できるので、ゼロから数える必要があります。
簡単な事なんですが…
一般的な推論はやめて、1 による除算に戻りましょう。 問題は単純で、それがなかったら単純だったでしょう...だから何？ 考えて試してみましょう。 0 を XNUMX で割った値はいくらですか? 見てみましょう: XNUMX/XNUMX = x. 両辺に左辺の分母を掛けます。
1=0 が得られます。 何か問題がありますか! 何が起こったか？ ああ、そうだね！ XNUMX とゼロの商があるという仮定は矛盾を引き起こします。 そして、ある数値がゼロで割ることができない場合、別の数値はゼロで割ることができます。 読者の皆さん、もしあなたが肩をすくめて、なぜ著者 (つまり私) がそのようなありきたりなことを書いているのかと疑問に思っているのなら、... 私はとてもうれしいです!
0/0 = 0 という公式は頑固に擁護することもできますが、それは数値をそれ自体で割った結果が 0 に等しいという規則に矛盾します。 まったく違いますが、微積分における 0/XNUMX、°/° などの記号はまったく異なります。 これらは数値を意味するものではなく、特定のタイプの特定の配列を表す記号的な指定です。
電気工学の本で、ゼロ除算は高電圧の電気と同じくらい危険であるという興味深い比較を見つけました。 これは正常です。オームの法則では、電圧と抵抗の比は電流に等しいと規定されています: V = U / R。抵抗がゼロの場合、理論的には無限の電流が導体を流れ、考えられるすべての導体が焼損します。
私はかつて、曜日ごとにゼロで割ることの危険性について詩を書きました。 最も劇的な日は木曜日だったと記憶していますが、この分野での私の仕事すべてにとって残念です。
何かをゼロで割るとき
月曜日のとても早い時間に
今週何が起こったのか
あなたはすでに惨めな失敗をしています。
火曜日の午後になると
分母にゼロを入れます
じゃあ教えてあげる、あなたは間違っている
悪い数学者！
ゼロを通過したとき、倒錯を通過したとき、
水曜日に別れたい
たくさんのトラブルに巻き込まれるでしょう
頭の中に干し草と水が入ってるよ！
あるバーテックが私たちと一緒にいました。
彼はルールに反していました。
木曜日はゼロで割り切れます。
彼はもう私たちの間にいません！
奇妙な欲望に囚われたら
金曜日をゼロで割る
正直に言います、正直に言います：
今週末は最悪のスタートだ。
ゼロの時、土曜日のどこか
仕切りはあなたのものになります（太字ではありません）
教会の柵の下にひざまずきます。
これがあなたの復活です。
ダッシュの下にゼロを入れますか?
日曜日に休暇をとりましょう
チョーク、黒板をご持参ください。
書いてください: ゼロでは割り切れません!
ゼロは空虚や無を連想させます。 実際、彼は、どの量に加えても変化しない量、つまり x + 0 = x として数学を学びました。 しかし現在では、他のいくつかの値にゼロが表示されます。 スケールスタート. 窓の外に正の温度も霜もない場合、... これはゼロであり、温度がまったくないという意味ではありません。 ゼロ級記念物は、長い間取り壊されて存在しないものではありません。 それどころか、ヴァヴェル、エッフェル塔、自由の女神のようなものです。
そうですね、位置システムにおけるゼロの重要性は、決して過大評価することはできません。 読者さん、ビル・ゲイツの銀行口座にゼロがいくつあるか知っていますか? 分かりませんが、半分は欲しいです。 ナポレオン・ボナパルトは、人間はゼロのようなものである、つまり立場によって意味を獲得することに気づいたようです。 アンジェイ・ワイダの映画『As the Years, As the Days Go by』の中で、情熱的な芸術家イェジは「ペリシテ人はゼロ、虚無、無、無、虚無、ゼロだ」と爆発させる。 しかし、ゼロでも良い場合があります。「標準からの逸脱がゼロ」とは、すべてが順調に進んでいることを意味し、それを維持してください。
数学の話に戻りましょう。 ゼロは、無罰で加算、減算、乗算できます。 「体重はゼロキロ増えました」とマーニャはアーニャに言います。 「そして、これは興味深いことです。なぜなら、私は同じ体重を減らしたからです」とアーニャは答えます。 それで、ゼロサービングのアイスクリームをXNUMX回食べましょう、それは私たちに害はありません。
ゼロで割ることはできませんが、ゼロで割ることはできます。 ゼロ餃子一皿は食事を待っている人に簡単に渡すことができます。 それぞれいくらもらえるの？
ゼロは正でも負でもありません。 これとその番号 非陽性и 非負。 これは、不等式 x≥0 および x≤0 を満たします。 「プラスの何か」という矛盾は、「マイナスの何か」ではなく、「マイナスの何か、あるいはゼロに等しいもの」である。 数学者は、言語の規則に反して、何かが「ゼロ」ではなく「ゼロに等しい」と常に言います。 この慣行を正当化するために、式 x = 0 を「x はゼロ」と解釈すると、x = 1 は「x は 1534267 に等しい」と解釈され、これは飲み込まれる可能性がありますが、「x = 0」の場合はどうでしょうか。 また、文字 XNUMX に数値を割り当てることはできません。0ゼロを負の累乗することもできません。 一方、ゼロを自由にルートすることができます...結果は常にゼロになります。
指数関数 y = ax、a の正の底は決してゼロにはなりません。 ゼロ対数は存在しないということになります。 実際、底 b に対する a の対数は、a の対数を取得するために底を累乗する必要がある指数です。 a = 0 の場合、そのような指標はなく、ゼロを対数の底にすることはできません。 ただし、ニュートン記号の「分母」のゼロは別のものです。 これらの規則は矛盾を引き起こさないものと仮定します。
虚偽の証拠
ゼロ除算は偽証明のよくあるテーマであり、経験豊富な数学者でも起こります。 私のお気に入りの例を XNUMX つ紹介しましょう。 XNUMXつ目は代数です。 すべての数値が等しいことを「証明」します。 等しくない XNUMX つの数値があるとします。 したがって、一方が他方よりも大きくなります (a > b とします)。 c がそれらの差であると仮定しましょう
c \uXNUMXd a - b。 したがって、a - b = c であり、そこから a = b + c になります。
後者の両方の部分に a - b を掛けます。
a2 – ab = ab + ac – b2 – bc。
ak を左側に翻訳します。もちろん、記号を変更したことは覚えています。
a2 - ab - ac = ab - b2 - bc。
共通の要因を除外します。
A（a-b-c）\uXNUMXd b（a-b-c）、
私は共有し、私が欲しかったものを手に入れました:
a = b。
そして、実際にはさらに奇妙なことに、a > b と仮定して、a = b が得られたのです。上の例で「不正行為」を認識するのは簡単ですが、以下の幾何学的証明では、それはそれほど簡単ではありません。 ...台形は存在しないことを証明します。 一般に台形と呼ばれる図形は存在しません。
しかし、まず台形 (下図の ABCD) のようなものがあると仮定してください。 XNUMX つの平行な側面 (「ベース」) があります。 写真に示すように、これらの底辺を伸ばして、平行四辺形を作成しましょう。 その対角線は、台形のもう一方の対角線を、次のように長さが x、y、z で示されるセグメントに分割します。 1デッサン。 対応する三角形の類似性から、比率を取得します。
ここで次のように定義します。
オラズ
ここで次のように定義します。
アスタリスクでマークされた等号の辺を引きます。
両辺を x − z だけ短くすると、-a/b = 1 となり、これは a + b = 0 を意味します。しかし、数値 a, b は台形の底辺の長さです。 それらの合計がゼロの場合、それらもゼロです。 これは、台形のような図形は存在できないことを意味します。 そして、長方形、ひし形、正方形も台形であるため、親愛なるリーダー、ひし形、長方形、正方形もありません...
そんなふうに
情報の共有は、1997 つの基本的な活動の中で最も興味深く、やりがいのある活動です。 ここで、私たちは初めて、成人期によく見られる「答えを推測し、推測が正しかったかどうかを確認する」という現象に遭遇します。 これは、ダニエル K. デネット (「How to Make Mistakes?」、How It Is – A Scientific Guide to the Universe、CiS、ワルシャワ、XNUMX 年) によって非常に適切に表現されています。
この「推測」の方法は、大人になってからの生活に支障をきたすことはありません。おそらく、私たちはそれを早くから学び、推測することが難しくないからでしょう。 イデオロギー的には、たとえば数学的（完全）帰納法でも同じ現象が起こります。 同じ場所で、式を「推測」し、その推測が正しいかどうかを確認します。 生徒たちはいつもこう尋ねます。「どうやってパターンを知ったのですか？」 どうやって取り出せるんですか？」 学生が私にこの質問をするとき、私は彼らの質問をジョークに変えます。「私はプロだから、知ることでお金をもらっているから、それを知っています。」 学校の生徒も同じスタイルで、より真剣に答えることができます。
エクササイズ。 加算と乗算の書き込みは最も低い単位から開始し、割り算は最も高い単位から開始することに注意してください。
XNUMXつのアイデアの組み合わせ
数学教師は常に、私たちが大人の分離と呼ぶものは、概念的に異なる XNUMX つの概念の結合であると指摘してきました。 Корпус i 分離.
最初のXNUMXつ （Корпус) アーキタイプが次のタスクで発生します。
ディバイドディバイド これらは次のようなタスクです。
? (1892 年にクラクフで発行された Julian Zgozalewicz のハンドブックから引用した、この問題の元のスタイルを保持します。złoty は、オーストリア ハンガリー帝国で XNUMX 世紀初頭まで流通していた通貨である Rhenish złoty です)。
ここで XNUMX つの問題を考えてみましょう ポーランド語で書かれた最古の数学教科書、父トマシュ・クロ（1538年）。 ディビジョンですか、それともクーペですか？ XNUMX世紀の小学生が行うべき方法でそれを解決してください。
(ポーランド語からポーランド語への翻訳: 20 バレルには 50 クォートと 8 つのポットがあります。8 ポットは XNUMX クォートです。誰かが取引用に XNUMX バレルのワインを XNUMX ズロで購入しました。関税と税金 (物品税?) は XNUMX ズロです。クォートを売って XNUMX ズロ?)
スポーツ、物理学、合同
スポーツでは、何かをゼロで割らなければならないことがあります (ゴール率)。 まあ、裁判官は何らかの形でそれに対処します。 しかし、抽象代数では、それらは議題に上ります。 ゼロ以外の量その二乗はゼロです。 簡単に説明することもできます。
点 (y, 0) を平面内の点 (x, y) に関連付ける関数 F を考えてみましょう。 Fとは何ですか2、つまり、F? の二重実行です。 ゼロ関数 - 各ポイントにはイメージ (0,0) があります。
最後に、二乗が 0 である非ゼロ量は、物理学者にとってほぼ毎日の糧であり、a + bε (ε ≠ 0、ただし ε) の形式の数です。2 = 0、数学者はそう呼ぶ 倍数。 これらは数学的解析や微分幾何学で発生します。
結局のところ、算術には少なくとも名前にゼロ除算が含まれるものがあります。 それはから来ています 合同. Z が整数の集合を表すとします。 集合 Z を p で割ることは、各数 (整数) を他のいくつかの数、つまりそれらの差が割り切れる数と同等にすることを意味します。 したがって、0、1、2、3、4 の数字に対応する 5 種類の数字がある場合、XNUMX で割ったときに取り得る余りは次のようになります。式は次のように記述されます。
差が倍数の場合はmod。
= 2 の場合、数値は 0 と 1 の 1 つだけです。整数をそのような 1 つのクラスに分割することは、整数を偶数と奇数に分割することと同じです。 今すぐ交換しましょう。 差は常に 0 で割り切れます (整数はすべて XNUMX で割り切れます)。 =XNUMXを取ることは可能でしょうか？ 試してみましょう: XNUMX つの数値の差がゼロの倍数になるのはどのような場合ですか? これら XNUMX つの数値が等しい場合のみ。 したがって、一連の整数をゼロで割ることは理にかなっていますが、面白くありません。何も起こりません。 ただし、これは小学校で知られるような意味での数の割り算ではないことを強調しておく必要があります。
そのような行為は、長く広範な数学と同様に単に禁止されています。
米。 2. 比較による数値の識別
(木5と木2)
