非現実的な数学の世界への旅

私はある水曜日、コンピューターサイエンス大学での講義と実習の後にこの記事を書きました。 私は、この学校の学生、彼らの知識、科学に対する態度、そして最も重要なことである学習スキルに対する批判から身を守ります。 これは...誰も教えてくれません。

なぜ私はそんなに防御的なのですか？ 単純な理由で、私はおそらく、私たちの周りの世界がまだ理解されていない年齢にいます. 車の運転ではなく、馬のハーネスの付け外しを教えているのでしょうか？ たぶん私は彼らに羽ペンで書くように教えますか？ 人見知りだけど、自分は「フォロー」しているつもりなのですが…

最近まで、高校では複素数について話していました。 そして、私が家に帰ってやめたのは今週の水曜日でした-それが何であるか、これらの数字の使い方をまだ学んでいない生徒はほとんどいません。 ペイントされたドアのガチョウのように、すべての数学を見る人もいます。 しかし、彼らが私に学び方を教えてくれたとき、私は本当に驚きました. 簡単に言えば、講義の各時間は、教科書を読む、特定のトピックの問題を解決する方法を学ぶなどの XNUMX 時間の宿題です。 このように準備した後、すべてを改善する演習に進みます... 幸いなことに、学生たちは、講義に座っている-ほとんどの場合窓の外を見ている-すでに知識が頭に入ることが保証されていると考えていたようです。

停止！ もういい。 全国の才能ある子供たちを支援する機関である国立児童基金の仲間との授業中に受けた質問に対する私の答えを説明します。 質問（というより提案）は次のとおりです。

—非現実的な数字について教えてください。

「もちろん」と私は答えた。 

数字の現実

「友人はもう一人の私であり、友情とは220と284という数字の比率である」とピタゴラスは言いました。 ここで重要なのは、数 220 の約数の合計は 284 に等しく、数 284 の約数の合計は 220 に等しいということです。

1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220

1 + 2 + 4 + 5 + 10 = 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284。ところで、聖書のヤコブは友情のしるしとしてエサウに 220 頭の羊と雄羊を与えたことに注目してください (創世記 32:14)。

数字 220 と 284 の間のもう 2 つの興味深い一致は、次のとおりです。最高の 3 個の素数は 5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、XNUMX です。そしてXNUMX。

それらの合計は 2x220 で、平方和は 59x284 です。

初め。 「実数」という概念はありません。 象に関する記事を読んだ後、「象以外の動物を探します」と尋ねるようなものです。 全体と非全体、合理的と非合理的なものがありますが、非現実的なものはありません。 具体的には： 実数ではない数値は無効とは呼ばれません。 数学には多くの種類の「数字」がありますが、それらは動物学的に例えるなら、ゾウとミミズと同じくらい互いに異なります。

第二に、すでに禁止されていることを知っているかもしれない操作を実行します: 負の数の平方根を抽出します。 まあ、数学はそのような障壁を克服します。 それは理にかなっていますか？ 数学では、他の科学と同様に、理論が知識の貯蔵庫に永久に入るかどうかは、その応用にかかっています。 それが役に立たない場合、それはゴミ箱に入れられ、知識の歴史のゴミになります。 この記事の最後でお話しする数字がなければ、数学を発展させることはできません。 しかし、いくつかの小さなことから始めましょう。 実数とは何ですか。 それらは隙間なく数直線を密に埋めます。 また、自然数が何であるかも知っています: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, …….. - それらのすべては収まりません最大の記憶。 彼らはまた美しい名前を持っています：自然。 それらには非常に多くの興味深い特性があります。 これはどうですか？

1 + 15 + 42 + 98 + 123 + 179 + 206 + 220 = 3 + 11 + 46 + 92 + 129 + 175 + 210 + 218

1² + 15² + 42² + 98² + 123² + 179² + 206² + 220² = 3² + 11² + 46² + 92² + 129² + 175² + 210² + 218²

1³ + 15³ + 42³ + 98³ + 123³ + 179³ + 206³ + 220³ = 3³ + 11³ + 46³ + 92³ + 129³ + 175³ + 210³ + 218³

1⁴ + 15⁴ + 42⁴ + 98⁴ + 123⁴ + 179⁴ + 206⁴ + 220⁴ = 3⁴ + 11⁴ + 46⁴ + 92⁴ + 129⁴ + 175⁴ + 210⁴ + 218⁴

1⁵ + 15⁵ + 42⁵ + 98⁵ + 123⁵ + 179⁵ + 206⁵ + 220⁵ = 3⁵ + 11⁵ + 46⁵ + 92⁵ + 129⁵ + 175⁵ + 210⁵ + 218⁵

1⁶ + 15⁶ + 42⁶ + 98³ + 123⁶ + 179⁶ + 206⁶ + 220⁶ = 3⁶ + 11⁶ + 46⁶ + 92⁶ + 129⁶ + 175⁶ + 210⁶ + 218⁶

1⁷ + 15⁷ + 42⁷ + 98³ + 123⁷ + 179⁷ + 206⁷ + 220⁷ = 3⁷ + 11⁷ + 46⁷ + 92⁷ + 129⁷ + 175⁷ + 210⁷ + 218⁷

「自然数に興味を持つのは自然なことだ」とカール リンデンホルムは言い、レオポルド クロネッカー (1823 ～ 1891 年) はそれを簡潔に言いました。「自然数は神が創造しました。それ以外はすべて人間の仕事です!」 分数 (数学者は有理数と呼びます) にも驚くべき特性があります。

そして平等に：

左側から始めて、プラスをこすり、乗算記号に置き換えることができます。この場合も等価性は真のままです。

などなど。

知られているように、分数 a/b (a と b は整数であり、b ≠ 0) については、次のようになります。 有理数。 しかし、彼らはポーランド語でのみ自分自身をそう呼んでいます。 彼らは英語、フランス語、ドイツ語、ロシア語を話します。 有理数。 英語では有理数。 無理数 不合理だ、不合理だ。 また、不合理な理論、アイデア、行為についてもポーランド語で話します。これは狂気であり、想像上のもので、説明のつかないものです。 女性はネズミを怖がると言われますが、それはなんと不合理なことなのでしょうか？

古代、数字には魂がありました。 それぞれが何かを意味し、それぞれが何かを象徴し、それぞれが宇宙、つまりギリシャ語でコスモスの調和の一部分を反映しています。 「コスモス」という言葉自体は「秩序、秩序」を意味します。 最も重要なものは 1 (完全数) と 2、他の数字で構成される連続する数字 3+4+XNUMX+XNUMX の合計であり、その象徴性は今日まで生き残っています。 そこでピタゴラスは、数字はすべての始まりであり源であり、発見にすぎないと教えました。 無理数 ピタゴラス運動を幾何学に向けました。 私たちは学校から次のような推論を知っています。

√2 - 無理数

なぜなら、次のものがあり、この部分は減らすことができないと仮定します。 特に、p と q は両方とも奇数です。 それを二乗しましょう: 2q²=p²。 p は奇数であることはできません。² は同じですが、等式の左側には 2 の倍数があります。これは、p が偶数であることを意味します。つまり、p = 2r、つまり p です。²= 4年²。 方程式 2q を簡略化してみましょう²= 4年² 2 によって q が得られます²= 2年² そして、q も偶数でなければならないことがわかり、そうではないと仮定しました。 結果として生じる矛盾によって証明が完了します - この式は、あらゆる数学の本によく出てきます。 この状況証拠は、ソフィストのお気に入りのトリックです。

この巨大さはピタゴラス派には理解できませんでした。 すべては数字で記述できなければならないし、砂の中に棒を使って誰でも描ける正方形の対角線には、長さがない、つまり測定可能な長さはない。 「私たちの信仰は無駄だった」とピタゴラス派は言っているようです。 どうして？ それはちょっと...不合理です。 連合は宗派的な方法で自らを救おうとした。 自分の存在を敢えて明らかにする人 無理数、死刑が宣告されることになっており、最初の判決はどうやら主人自身によって執行されたようだ。

しかし、「その考えは無傷で通過した」。 黄金時代が到来しました。 ギリシャ人はペルシア人を破った（マラソン490、プラシェ479）。 民主主義が強化され、哲学思想の新たな中心地と新たな学派が出現しました。 ピタゴラス主義の信奉者たちは依然として無理数と格闘していました。 ある者は、「私たちはこの神秘を理解できないだろう」と説教しました。 私たちはそれを熟考し、アンチャーテッドを賞賛することしかできません。 後者はより現実的であり、秘密を尊重しませんでした。 当時、無理数を理解できるようにする XNUMX つの精神構造が現れました。 今日私たちがそれらを非常によく理解しているという事実は、エウドクソス (紀元前 XNUMX 世紀) のものであり、ドイツの数学者リヒャルト デデキントが厳密な数学的論理の要件に従ってエウドクソスの理論を適切に発展させたのは XNUMX 世紀末になって初めてです。

大量の数字や拷問

数字がなくても生きていける？ たとえどんな人生だったとしても... 以前に足の長さを測定した棒で靴を買うために店に行かなければならないでしょう。 「りんごが欲しい、あ、これだ！」 – 市場で売り手を表示します。 「Modlin から Nowy Dwur Mazowiecki までの距離はどれくらいですか?」 "かなり近い！"

数値は測定に使用されます。 彼らの助けを借りて、私たちは他の多くの概念も表現しています。 たとえば、地図の縮尺は、その国の面積がどれだけ減少したかを示しています。 2 対 XNUMX のスケール、または単に XNUMX は、何かが XNUMX 倍の大きさになったことを表します。 数学的に言ってみましょう: 各均一性は数値に対応します - そのスケール。

タスク。 画像を数倍に拡大して電子写真コピーを作成しました。 次に、拡大された断片は再び b 倍に拡大されました。 一般的な倍率はどのくらいですか? 答え：a×b×b。 これらのスケールを乗算する必要があります。 数値から 1 を引いた値、-180 は、中心にある 90 つの精度、つまり 1 度の回転に対応します。 XNUMX度の回転に対応する数字は何ですか? そのような数字はありません。 そうです、そうです…というかもうすぐです。 精神的拷問を受ける準備はできていますか? 勇気を出して、マイナス XNUMX の平方根を計算してください。 私は聞いています？ 何ができないのですか？ 結局のところ、私はあなたに勇気を持ってくださいと言った。 押し出す！ ねえ、まあ、引っ張って、引っ張って... 私が手伝います... ここで: −XNUMX これで、それを手に入れたので、それを使ってみましょう... もちろん、これですべての負の数の根を求めることができます。例。：

√-4 =2√-1、√-16 =4√-1

「それが伴う精神的苦痛に関係なく。」 これは、1539 年にジローラモ カルダノが書いたものです。 虚数。 彼はこう考えたのです...

...タスク. 10 を 40 つの部分に分割すると、その積は 10 になります。前のエピソードで、彼は次のようなことを書いたことを覚えています。確かに不可能です。 ただし、これを行いましょう: 5 を 25 つの等しい部分に分割し、それぞれが 25 に等しくなるようにします。それらを乗算すると、40 になります。結果の 15 から、必要に応じて 15 を引くと、-5 が得られます。 見てください: √-40 を 5 に足して 15 から引くと、5 の積が得られます。これらは、15-√-XNUMX と XNUMX + √-XNUMX です。 結果の検証は、カルダノによって次のように実行されました。

「それが伴う心痛に関係なく、5 + √-15 に 5-√-15 を掛けます。 25 - (-15) が得られます。これは 25 + 15 に相当します。したがって、積は 40 .... 本当に難しいです。」

さて、それはいくらですか: (1 + √-1) (1-√-1)? 増やしてみましょう。 √-1 × √-1 = -1 であることに注意してください。 素晴らしい。 次に、より難しい問題です。a + b√-1 から ab√-1 までです。 どうしたの？ もちろん、次のようになります: (a + b√-1) (ab√-1) = a²+b²

これの何がそんなに面白いのでしょうか？ たとえば、「今まで知らなかった」式も因数分解できるという事実です。 の乗算公式の省略形²-b² あなたはおそらく次の公式を覚えているでしょう²+b² それは起こり得ないから起こらなかった。 実数の領域では、多項式は²+b² これは避けられません。 「マイナス XNUMX」の「私たちの」平方根を文字 i で表しましょう。²= -1。 これは「非現実的な」素数です。 これは、90 度回転する飛行機を説明するものです。 なぜ？ 結局、²= -1 で、90 度の回転と別の 180 度の回転を組み合わせると 45 度の回転になります。 どのタイプのローテーションが説明されていますか? 明らかにXNUMX度回転。 -i とはどういう意味ですか? もう少し複雑です：

（-私）² = -i × (-i) = + i² = -1

したがって、 -i は、i の回転とはちょうど反対方向の 90 度の回転も表します。 どっちが左でどっちが右？ 予約をしなければなりません。 数値 i は、数学者が正と考える方向、つまり反時計回りの回転を指定すると仮定します。 数字 -i は、ポインタの移動方向の回転を表します。

しかし、i や -i などの数字はあるのでしょうか? は！ 私たちはただそれらに命を吹き込んだだけなのです。 私は聞いています？ それらは私たちの頭の中にしか存在しないのでしょうか？ さて、何を期待すればいいでしょうか？ 他のすべての数字も私たちの心の中にのみ存在します。 新生児の数が生き残れるかどうかを確認する必要があります。 もっと正確に言うと、そのデザインは論理的か、何かの役に立つか？ すべて問題なく、これらの新しい数字は本当に役立つという私の言葉を信じてください。 3+i、5-7i、より一般的な形式の a+bi のような数は、複素数と呼ばれます。 飛行機を回転させてそれらを取得する方法を説明しました。 それらはさまざまな方法で入力できます: 平面の点として、特定の多項式として、特定の数値配列として... そして毎回それらは同じになります: 方程式 x² +1=0 要素はありません...ホーカス ポーカスはすでに存在します!!!! 楽しんで喜びましょう!!!

ツアー終了

これで、偽の数字の国を巡る最初のツアーは終了です。 他の不気味な数のうち、後ろではなく前に無限の桁があるものについても触れます (これらは 10 進と呼ばれます。私たちにとって p 進の方が重要です。p は素数です)。たとえば、X = ... ... ... 96109004106619977392256259918212890625

X を数えてみましょう²。 なぜなら？ 桁数が無限にある数値の XNUMX 乗を計算するとどうなるでしょうか? そうですね、同じようにしましょう。 X を調べてみましょう² = H.

方程式を満たす、前に無限の桁がある別のそのような数値を見つけてみましょう。 ヒント: 76 で終わる数字の 76 乗も 376 で終わります。 376 で終わる数字の 9376 乗も 9376 で終わります。 XNUMX で終わる数字の XNUMX 乗も XNUMX で終わります。 XNUMX で終わる数字の XNUMX 乗も XNUMX で終わります。 XNUMX で終わる数字の XNUMX 乗... また、非常に小さい数値があり、たとえそれが正であっても、他の正の数値よりも小さいままです。 それらは非常に小さいため、場合によっては XNUMX 乗してゼロにするだけで十分です。 a × b = b × a という条件を満たさない数があります。 無限の数もあります。 自然数はいくつありますか? 無限に多い？ はい、でもいくらですか？ これは何という数字で表現できますか? 答え: 無限の数のうちの最小のもの。 それは美しい文字「A」でマークされており、ゼロのインデックス「A」が追加されています。₀ 、アレフゼロ。

私たちが存在を知らない数字もあります...または、あなたが好きなように信じるか信じないかを決めることができます。 そういえば、Unreal Numbers、Fantasy Species Numbers を引き続き気に入っていただければ幸いです。