色付きの正方形と日食

この記事では、全国児童基金の奨学生である中学生向けの私のクラスについて説明しています。 財団は、特に才能のある子供や若者 (小学校 XNUMX 年生から高校まで) を探し出し、選ばれた学生に「奨学金」を提供します。 しかし、それらは現金を引き出すことではなく、原則として、長年にわたって才能の開発のための包括的なケアにあります。 この種の他の多くのプロジェクトとは異なり、著名な科学者、文化人、著名なヒューマニスト、その他の賢明な人々、そして一部の政治家が、財団の病棟を真剣に受け止めています。

財団の活動は、スポーツを除く学校の基礎科目である芸術を含むすべての分野をカバーしています。 この財団は、当時の現実に対する解毒剤として 1983 年に設立されました。 誰でもこの基金に申請することができますが（通常は学校を通じて、できれば学年末までに）、もちろん、一定のふるい、一定の資格手続きがあります。

すでに述べたように、この記事は、2016 年 24 月にグディニアの第 2008 中学校で行われた私のマスタークラスに基づいています。 海軍。 これらのセミナーは長年にわたり、並外れたカリスマ性と高い知的レベルを備えた教師であるヴォイチェフ・トマルチクによって財団の後援のもとに開催されてきました。 XNUMX年、彼はポーランドで教育学の教授の称号を授与されたトップXNUMXに入った（何年も前に法律で定められていた）。 「教育は世界の軸である」という言葉は少し誇張されています。

そして月 常に魅力的です - そして、私たちがセンチメートルと秒単位で測定されたすべてが動いている巨大な空間の小さな惑星に住んでいると感じることができます. 時間の観点からも、少し怖いです。 今日のワルシャワの地域から見える次の皆既日食は、... 2681 年になることがわかります。 誰がそれを見るのだろうか？ 私たちの空に見える太陽と月の大きさはほぼ同じです。 何世紀にもわたって、天文学者が太陽コロナを見るには、これらの短い分で十分なはずです。 年に 260 回というのは不思議ですが、それは地球上のどこかで短期間しか見られないということです。 潮の動きの結果として、月は地球から遠ざかっています.

どうやら彼が最初に予言したらしい 日食、ミレトスのタレス（紀元前28〜585世紀）。 紀元前567年566月XNUMX日に小アジアで日食が起こったという事実は現代の計算によって確認された事実であるため、それが実際に起こったかどうか、つまり彼がそれを予言したかどうかはおそらく分からないでしょう。 もちろん、今日のタイムカウントに基づいたデータを提供します。 私は子供の頃、人々がどのように年を数えているのか想像しました。 つまり、これはたとえば紀元前３年であり、大晦日が来て人々は喜びます：たったの紀元前３年です！ ついに「私たちの時代」が到来したとき、彼らはどれほどうれしかったことでしょう。 私たちは数年前に何という画期的な出来事を経験しました。

日付と範囲を計算する数学 日食、特に複雑ではありませんが、体の軌道運動の規則性、さらに悪いことに不規則性に関連するあらゆる種類の要因が詰め込まれています。 私もこの数学を知りたいです。 ミレトスのタレスはどのようにして必要な計算を行うことができたのでしょうか? 答えは簡単です。 星図が必要です。 このような地図はどうやって作るのでしょうか？ これも難しいことではなく、古代エジプト人はその方法を知っていました。 真夜中、二人の僧侶がお寺の屋根に出てきます。 彼らはそれぞれ座って、（同僚のように）見たものを描きます。 XNUMX 年後、私たちは惑星の動きについてすべてを知っています...

美しい幾何学模様、または「敷物」の上での楽しみ

ギリシャ人は数字を好まず、幾何学に頼りました。 これが私たちがやることです。 私たちの 日食 シンプルでカラフルですが、同じくらい面白くて本物です。 青い図形が赤い図形を覆い隠すように動くという同意を受け入れましょう。 青い図を月、赤い図を太陽と呼びましょう。 次のような質問を自分自身に問いかけてみましょう。

1. 日食はどれくらい続きますか？
2. ターゲットの半分がカバーされたとき。

   米。 1 太陽と月の色とりどりの「カーペット」

3. 最大適用範囲はどれくらいですか。
4. シールド被覆率の時間依存性を分析することは可能ですか? この記事では (文章の長さに制限があるので) 1 番目の質問に焦点を当てます。 おそらく退屈な計算なしで、その背後にいくつかの素晴らしいジオメトリがあります。 図を見てみましょう。 XNUMX. それは…日食に関連していると考えられますか?

正直に言って、私がこれから説明する課題は、中学生と高校生の知識とスキルに合わせて特別に選択され、適応されます。 しかし、私たちは音楽家が音階を演奏したり、アスリートが一般的な発達訓練を行ったりするようなタスクをトレーニングします。 しかも、ただのきれいな敷物ではありませんか（図1）。

米。 2 「青い」月と「赤い」太陽

私たちの天体は、少なくとも最初は色付きの正方形になります。 月は青、太陽は赤（塗り絵に最適）。 プレゼントと一緒に 日食 月は空を横切って太陽を追いかけ、追いつき、そして太陽を覆います。 それは私たちも同じでしょう。 最も単純なケースは、図に示すように、月が太陽に対して移動する場合です。 2. 日食は、月の円盤の端が太陽の円盤の端に触れるときに始まり（図 2）、太陽の円盤の端を超えると終了します。

米。 3 月は太陽に斜めに近づく

「月」は単位時間、たとえばXNUMX分間にXNUMXマス移動するとします。 その後、日食は XNUMX 単位の時間、たとえば数分間続きます。 半分 日食 2分後と6分後の1回、ダイヤルの半分が閉まります。 暗さの割合のグラフはシンプルです。 最初の XNUMX 分間、シールドは XNUMX から XNUMX の割合で均等に閉じ、次の XNUMX 分間は同じ割合で開きます。

ここではさらに興味深い例を示します (図 3)。 月は太陽に斜めに近づきます。 私たちの分単位の取り決めによると、日食は 8 √ まで続きます。2 分 - この時間の真ん中に皆既日食があります。 時間 t の後に太陽のどの部分が覆われているかを計算してみましょう (図 3)。 日食が始まってから t 分が経過した場合、その結果、月は図 5 のようになります。 4、それから（注意！）したがって、それは覆われています（正方形APQRの面積）、太陽円盤の半分に等しい; したがって、それはいつ覆われたか、つまり4分後（日食終了のXNUMX分前）。

米。 4 「シェーディング」機能のグラフ

全体性 一瞬続きます (t = 4√2)、「斜線部分」関数のグラフは 4 つの放物線の円弧で構成されます (図 XNUMX)。

青い月は赤い太陽と角に触れますが、斜めではなく、少し斜めに進んで覆い、少し動きを複雑にすると面白い幾何学模様が現れます（図6）。 移動方向はベクトル [4,3]、つまり「右に XNUMX セル、上に XNUMX セル」になります。 太陽の位置は、「天体」の側面がその長さの XNUMX 分の XNUMX に集まるときに日食が始まる (位置 A) ような位置にあります。 月が位置 B に移動すると、太陽の XNUMX 分の XNUMX が食され、位置 C では太陽の半分が食されます。 位置 D では皆既日食が起こり、その後すべてが「元の状態」に戻ります。

米。 5 時間 t の間に隠れた太陽の一部

日食は、月が位置 G にあるときに終了します。 断面長さ AG。 先ほどと同じように、月が「4マス」を通過する時間を時間の単位とすれば、AGの長さは等しくなります。 天体は 4 × 15 であるという古い慣例に戻ったら、結果は違ったものになるでしょう (何が?)。 簡単にわかるように、ターゲットは t < 6 の後に閉じられます。「画面カバー率」関数のグラフを図に示します。 XNUMX.

米。 6 「保護率」関数のグラフ

日食とジャンプの方程式

米。 7 図に示す日食中の太陽円盤の障害。 6

円の場合を考慮しないと、日食の問題は不完全になります。 これはもっと複雑ですが、一方の円がもう一方の円の半分を覆うとき、そして最も単純なケースでは、一方の円が両方を結ぶ直径に沿って移動するときを理解してみましょう。 この図は、クレジット カードの所有者にはよく知られています。

フィールドの位置の計算は、第一に円セグメントの面積の公式の知識、第二に角度の円弧の知識、そして第三に (そして何よりも) 能力が必要であるため、複雑です。あるジャンプ方程式を解く。 「推移方程式」が何であるかについては説明しませんので、例を見てみましょう (図 8)。

米。 8 「球状」日食

円形部分は円を直線に切ったときに残る「お椀」の部分です。 このようなセグメントの面積は S = 1/2r です²(φ-sinφ)、ここで r は円の半径、φ はセグメントが置かれる中心角です (図 8)。 これは、扇形の面積から三角形の面積を引くことで簡単に得られます。

エピソードO₁O₂ （円の中心間の距離）は 2rcosφ/2、高さ（幅、「ウエストライン」） h = 2rsinφ/2 となります。 したがって、月が太陽円盤の半分を覆う時期を計算したい場合は、方程式を解く必要があります。単純化すると、次の形式になります。

米。 9 XNUMX つの関数のグラフ

このような方程式を解くことは、単純な代数を超えています。方程式には角度とその三角関数の両方が含まれます。 この方程式は従来の方法の範囲を超えています。 それがそう呼ばれる理由です ジャンプする。 まず、関数と関数の両方のグラフを見て、この図から近似解を読み取ることができます。 ただし、反復法を使用するか、Excel スプレッドシートの [ソルバー] オプションを使用して近似を取得できます。 20世紀ですから、高校生なら誰でもできるはずです。 私はより複雑な Mathematica ツールを使用しました。ここでは、不必要な小数点以下の精度を備えたソリューションを示します。

SetPrecision[FindRoot[x==Sin[x]+Pi/2,{x,2}],20] {x⇒2.3098814600100574523}.

米。 10 マテマティカでの日食アニメーション

180/πを乗算してこれを度に変換します。 132 度 20 分 45 秒角になります。 円の中心までの距離が O であることを計算してみます。₁O₂ = 半径 0,808、「ウエスト」2,310。