逆の魅力

数学に限らず、「反対の魅力」についてはよく言われます。 反対の数は、プラス 7 とマイナス 7 のように、符号のみが異なることに注意してください。反対の数の合計はゼロです。 しかし、私たち (つまり数学者) にとっては、逆数の方が興味深いのです。 数値の積が 1 に等しい場合、これらの数値は互いに逆数になります。 すべての数値にはその逆があり、ゼロ以外のすべての数値にはその逆があります。 逆数の逆数がシードです。

反転は XNUMX つの量が相互に関連している場合に発生し、一方が増加すると、他方は対応する割合で減少します。 「関連性がある」とは、これらの量の積が変化しないことを意味します。 これは反比例だということを学校で覚えています。 目的地に XNUMX 倍の速さで到着したい (つまり、時間を半分に短縮したい) 場合は、速度を XNUMX 倍にする必要があります。 気体が入った密閉容器の体積が n 倍に減少すると、その圧力は n 倍に増加します。

初等教育では、差分比較と相対比較を注意深く区別します。 "どのくらいより"？ 「あと何回？」

ここでは学校のアクティビティをいくつか紹介します。

1ジョブ 5 つの正の値のうち、最初の値は 5 番目の値より XNUMX 倍大きく、同時に最初の値よりも XNUMX 倍大きくなります。 寸法は何ですか?

2ジョブ 3 つの数値が 2 番目の数値より XNUMX 大きく、XNUMX 番目の数値が XNUMX 番目の数値より XNUMX 大きい場合、最初の数値は XNUMX 番目の数値よりどれだけ大きいですか? 最初の正の数が XNUMX 番目の数の XNUMX 倍で、最初の数が XNUMX 番目の数の XNUMX 倍である場合、最初の数は XNUMX 番目の数より何倍大きいですか?

3ジョブ タスク 2 では、自然数のみが許可されます。 そこに記載されているような配置は可能でしょうか?

4ジョブ 5 つの正の値のうち、最初の値は 5 番目の値の XNUMX 倍、XNUMX 番目の値は最初の値の XNUMX 倍です。 出来ますか？

「平均」または「平均」という概念は非常に単純に思えます。 月曜日に 55 km、火曜日に 45 km、水曜日に 80 km 自転車に乗った場合、60 日あたり平均 60 km 自転車に乗ったことになります。 私たちはこの計算に心から同意しますが、私は 33 日に XNUMX km を運転したわけではないので、少し奇妙ではありますが。 私たちは一人の人の取り分も同じように簡単に受け入れます。XNUMX 日以内に XNUMX 人がレストランを訪れた場合、XNUMX 日の平均料金は XNUMX 人と XNUMX 分の XNUMX です。 うーん！

平均的なサイズだけに問題があります。 私はサイクリングが好きです。 そこで私は旅行代理店の「一緒に行きましょう」というオファーを利用しました。旅行会社は荷物をホテルまで届け、顧客は娯楽目的で自転車に乗ります。 金曜日、私は24時間運転しました。最初の16時間は時速24kmでした。 それから私はとても疲れて、次の 16 回は 2 時間あたりわずか 20 本のペースで進みました。 私の平均速度はどれくらいでしたか？ もちろん、(20+XNUMX)/XNUMX=XNUMXkm=XNUMXkm/hです。

ところが土曜日に荷物をホテルに預けて、24km離れた城跡を見に行き、それを見て帰ってきました。 私は一方向に 16 時間運転し、戻りはさらにゆっくりと、時速 20 km の速度で戻りました。 ホテル→城→ホテルのルートでの平均速度はどれくらいでしたか? 時速48キロ？ もちろん違います。 結局、合計48kmを運転し、（「あそこ」）48時間、帰りは2,5時間半かかりました。 192kmを10時間半で走ります。 時間 19,2/XNUMX=XNUMX/XNUMX=XNUMX km! この状況では、平均速度は算術平均ではなく、指定された値の調和です。

この 1 階建ての式は次のように解釈できます。正の数の調和平均は、その逆数の算術平均の逆数です。 逆数の合計の逆数は、学校の課題の多くの合唱に登場します。つまり、2 人の労働者が何時間も掘るなら、もう XNUMX 人は b 時間、協力して時間どおりに掘ることになります。 水プール (XNUMX 時間に XNUMX つ、XNUMX 時間ごとにもう XNUMX つ)。 一方の抵抗に RXNUMX があり、もう一方の抵抗に RXNUMX がある場合、それらは並列抵抗になります。 

XNUMX 台のコンピューターが数秒で問題を解決でき、別のコンピューターが XNUMX 秒で問題を解決できる場合、それらが連携すると...

ストップ！ すべてはネットワークの速度、つまり接続の効率に依存するため、類推はここで終わります。 労働者はお互いに妨害したり助け合ったりすることもできます。 1 人が 10 時間で井戸を掘ることができる場合、6 人の労働者が 6/XNUMX 時間 (または XNUMX 分) でそれを掘ることができますか? XNUMX 人のポーターが XNUMX 分でピアノを XNUMX 階まで運んだ場合、そのうちの XNUMX 人がピアノを XNUMX 階まで届けるのにどれくらい時間がかかりますか? このような問題の不条理さは、「人生からの」問題に対するすべての数学の適用可能性が限られていることを思い出させます。

売主様 

天秤はもう使われていません。 このような秤の一方のボウルに重りを置き、もう一方のボウルに計量される物品を置き、重りが平衡に達すると、物品の重さがその重さと同じ重さになることを思い出してください。 もちろん、重量負荷の両方のアームは同じ長さでなければなりません。そうしないと、計量が不正確になります。

そうそう。 不均等なレバレッジで体重を抱えている営業マンを想像してみてください。 しかし、彼は顧客に対して正直でありたいと考え、商品の重さを XNUMX 回に分けて計量します。 まず、一方の皿に重りを置き、もう一方の皿には対応する量の商品を乗せて、秤のバランスをとります。 次に、商品の後半の「半分」の重さを逆の順序で計ります。つまり、XNUMX 番目のボウルに重さを置き、最初のボウルに商品を置きます。 手は等しくないため、「半分」が等しくなることはありません。 そして売り手の良心は明白であり、買い手は「ここで削除したものをその後追加した」という彼の誠実さを賞賛します。

ただし、不安定な重みにもかかわらず正直でありたいと考える販売者の行動を詳しく見てみましょう。 天秤の腕の長さを a と b とする。 一方のボウルに 2 キログラムの重りを載せ、もう一方のボウルに x 個の物品を載せた場合、0 回目は ax = b、XNUMX 回目は bx = a であれば、秤は平衡状態にあります。 したがって、商品の最初の部分は b / キログラム、XNUMX 番目の部分は a / b に等しくなります。 適切な重量は a = b であるため、購入者は XNUMX kg の商品を受け取ることになります。 a ≠ b の場合に何が起こるかを見てみましょう。 次に、a – b ≠ XNUMX となり、簡約された乗算公式から次のようになります。

私たちは予期せぬ結果に達しました。この場合、測定値を「平均化」するという一見公平な方法は、より多くの商品を受け取る購入者の利益に役立ちます。

5ジョブ。 (重要ですが、決して数学ではありません!)。 蚊の体重は 2,5 ミリグラム、ゾウの体重は XNUMX トンです (これはまったく正しいデータです)。 蚊と象の質量（重さ）の算術平均、幾何平均、調和平均を計算します。 計算をチェックして、算数の練習以外に意味があるかどうかを確認してください。 「現実」では意味をなさない数学的計算の他の例を見てみましょう。 ヒント: この記事ではすでに XNUMX つの例を見てきました。 これは、私がインターネットで見つけた匿名の学生の意見「数学は数字で人を騙す」が正しかったということなのでしょうか？

はい、数学の壮大さの中で人々を「だます」ことができるということに私は同意します。シャンプーの広告では、XNUMXつおきにふわふわ感が何パーセントか増加すると言っています。 犯罪行為に使用できる便利な日常ツールの他の例を探してみましょうか。

グラム！

この文章のタイトルは動詞（一人称複数形）であり、名詞（XNUMX分のXNUMXキログラムの複数主格）ではありません。 ハーモニーは秩序と音楽を意味します。 古代ギリシャ人にとって、音楽は科学の一分野でした。そう言うと、「科学」という言葉の現在の意味を私たちの時代より前の時代に移すことになることを認めなければなりません。 ピタゴラスは紀元前３世紀に生きていましたが、コンピューター、携帯電話、電子メールを知らなかっただけでなく、ロベルト・レヴァンドフスキ、ミェシュコ１世、カール大帝、キケロが誰であるかも知りませんでした。 彼はアラビア数字もローマ数字さえも知りませんでした（それらは紀元前XNUMX世紀頃に使用され始めました）、ポエニ戦争が何であるかを知りませんでした...しかし、彼は音楽を知っていました...

彼は、弦楽器の振動係数が弦の振動部分の長さに反比例することを知っていました。 彼は分かっていました、分かっていましたが、今日私たちがしているようにそれを表現することはできませんでした。

オクターブを構成する 1 つの弦振動の周波数は 2:2 の比率にあります。つまり、高い音の周波数は低い音の周波数の 3 倍です。 3 度の正しい振動比は 4:4、5 度は 5:6、純粋な長 6 度は 7:7、短 8 度は 8:9 です。 これらは心地よい子音の音程です。 次に、振動比が 9:10 と XNUMX:XNUMX の XNUMX つの中立的な音、そして不協和音、つまり大きな音 (XNUMX:XNUMX) と小さな音 (XNUMX:XNUMX) があります。 これらの分数 (比) は、数学者が (まさにこの理由から) 調和系列と呼ぶ数列の連続する要素の比に似ています。

は理論的には無限和です。 オクターブの振動の比率は 2:4 と書き、その間に 2 分の 3 を置くと 4:XNUMX:XNUMX になります。つまり、オクターブを XNUMX 分の XNUMX と XNUMX 分の XNUMX に分割します。 これは数学では調和セグメント分割と呼ばれます。

米。 1. ミュージシャンの場合: オクターブ AB を XNUMX 番目の AC に分割します。数学者向け: 調和分割

調和系列などの理論的に無限の合計について (上記で) 話すとき、私は何を意味するのでしょうか? このような合計は任意の大きな数にすることができますが、主なことは、長時間加算することです。 材料はますます少なくなってきていますが、材料はますます増えています。 何が普及するのでしょうか？ ここからは数学的解析の領域に入ります。 成分が枯渇していることがわかりましたが、すぐには枯渇しません。 十分な材料を摂取することで、次のようにまとめることができることを示します。

勝手に大きい。 「たとえば」n = 1024 を考えてみましょう。図に示すように単語をグループ化してみましょう。

各括弧内の各単語は、それ自体と等しい最後の単語を除いて、前の単語よりも大きくなります。 次の括弧内には、2、4、8、16、32、64、128、512 個のコンポーネントがあります。 各括弧内の合計の値は 5/7,50918 より大きくなります。 これはすべて XNUMX と XNUMX/XNUMX を超えています。 より正確な計算では、この量は約 XNUMX であることがわかります。 それほど多くはありませんが、常に n を大きくすることで、どの数値よりも優れたパフォーマンスを発揮できることがわかります。 これは信じられないほど遅いですが (たとえば、材料だけでトップ XNUMX に入ります)、無限の成長は常に数学者を魅了してきました。

ハーモニックシリーズで無限への旅

これはかなり本格的な数学へのパズルです。 たとえば、4 × 2 × 1 の寸法を持つ長方形のブロック (何と言うか、長方形です!) が無限に供給されます。いくつかの (上にある) から構成されるシステムを考えてみましょう。 図。 2 - XNUMX) ブロック。最初のブロックはその長さの XNUMX/XNUMX だけ傾き、上から XNUMX 番目のブロックは XNUMX/XNUMX だけ傾き、以下同様に、XNUMX 番目のブロックは XNUMX 分の XNUMX 傾くように配置されます。 そうですね、本当に安定させるために、最初のレンガの傾きをもう少し小さくしましょう。 計算には関係ありません。

米。 2. 重心の決定

また、上から数えて最初の XNUMX つのブロックで構成される図形の対称中心は点 B にあるため、B が重心であることも容易に理解できます。 上部の XNUMX つのブロックで構成されるシステムの重心を幾何学的に定義してみましょう。 ここでは非常に単純な議論で十分です。 XNUMXブロック構成を頭の中で上XNUMXブロックと下XNUMXブロックに分けてみましょう。 この中心は、XNUMX つの部品の重心を接続するセクション上になければなりません。 このエピソードのどの時点でしょうか?

指定方法は3通りあります。 最初の例では、この中心が 2 つのブロックのピラミッドの中央、つまり 1 番目の中央のブロックと交差する直線上にある必要があるという観察を使用します。 3 番目の方法では、上部の XNUMX つのブロックの総質量が XNUMX つのブロック #XNUMX (上部) の XNUMX 倍であるため、このセクションの重心は中心に比べて B に XNUMX 倍近くなければならないことがわかります。 XNUMXブロック目のS。 同様に、次の点を見つけます。見つかった XNUMX つのブロックの中心を XNUMX 番目のブロックの中心 S に接続します。 システム全体の中心は高さ XNUMX にあり、セグメントを XNUMX ～ XNUMX (つまり、長さの XNUMX/XNUMX) に分割する点にあります。

もう少し詳しく計算を行うと、図 XNUMX に示す結果が得られます。 図3 連続する重心は、次の方法で下部ブロックの右端から削除されます。

したがって、ピラミッドの重心の投影は常に底辺内にあります。 塔は倒れません。 それでは見てみましょう 図。 3 そしてしばらくの間、上から XNUMX 番目のブロック (明るい色でマークされたブロック) をベースとして使用してみましょう。 上部傾斜:

したがって、その左端はベースの右端より 1 離れています。 次のスイングは次のとおりです。

最大のスイングは何ですか？ 私たちはすでに知っています！ 最大のものはありません！ 最も小さなブロックでも、XNUMX キロメートルのオーバーハングを得ることができます。残念ながら、これは数学的にのみです。これほど多くのブロックを構築するには、地球全体では十分ではありません。

米。 3.さらにブロックを追加します

さて、上で残した計算です。 必要なのはそれだけなので、すべての距離を X 軸上の「水平方向」に計算します。 点A（最初のブロックの重心）は右端から1/2の位置にあります。 点 B (1 ブロック システムの中心) は、4 番目のブロックの右端から 3/1 離れています。 開始点を 2 番目のブロックの終わりとします (次に 1 番目のブロックに進みます)。 たとえば、単一ブロック #4 の重心はどこにありますか? このブロックの長さの半分、つまり、基準点から 3/4 + 3/4 = 1/4 です。 点Cはどこですか？ XNUMX/XNUMX と XNUMX/XNUMX の間のセグメントの XNUMX 分の XNUMX、つまり前の点で、参照点を XNUMX 番目のブロックの右端に変更します。 XNUMX ブロック システムの重心が新しい基準点から削除され、以下同様になります。 重心C_n n 個のブロックで構成されるタワーは、ベース ブロックの右端、つまり上から n 番目のブロックである瞬間の基準点から 1/2n 離れています。

逆数列は発散するため、大きな変動を得ることができます。 これは実際に実装できるのでしょうか？ それは終わりのないレンガの塔のようなものです - 遅かれ早かれそれは自重で崩壊します。 私たちのスキームでは、ブロック配置の不正確性が最小限に抑えられているため (そして系列の部分和の増加が遅いため)、それほど遠くには到達できないことを意味します。