アベリヤ賞
アベルという名前について何も言う読者はほとんどいないだろう。 いいえ、私たちは自分の兄弟カインに殺された不幸な青年について話しているのではありません。 私が言及しているのは、ノルウェーの数学者ニールス ヘンリック アーベル (1802–1829) と、ノルウェー科学文学アカデミーからアンドリュー J. ワイルズ卿に授与されたばかり（16 年 2016 月 XNUMX 日）、彼の名を冠した賞です。 これは、世界で最も重要な科学賞の部門のランキングでアルフレッド・ノーベルによって除外された数学者を補うものである。
数学者はいわゆる フィールズ賞 （公式にはこの分野で最高の栄誉と考えられています）、それに関連付けられているのはわずか 15 です。 (数百万、数千ではありません!) 勝者が決まるまでカナダドル アーベル賞 ポケットに 6 万ノルウェー クローネ (約 750 8 ユーロ) の小切手を入れます。 ノーベル賞受賞者は865億XNUMX万SEK、つまり約XNUMX万を受け取ります。 ユーロ - 大きなトーナメントで優勝したテニス選手よりも少ない. アルフレッド・ノーベルが受賞者候補に数学者を含めなかった理由はいくつかあります。 ノーベルの遺言は、人類に最大の利益をもたらす「発明と発見」を扱っていましたが、おそらく理論的ではなく、実用的でした. 数学は、人類に実用的な利益をもたらす科学とは見なされていませんでした。
なぜアベルなのか
誰だった ニールス・ヘンリック・アベル そして彼は何で有名だったのでしょうか？ 彼は結核のためわずか 27 歳で亡くなったが、数学で不動の功績を残すことができたので、彼は天才だったに違いない。 そうですね、すでに中学校では方程式の解き方を教えてくれます。 最初は XNUMX 度、次に正方形、場合によっては立方体です。 すでに XNUMX 年前、イタリアの科学者は次のような問題に対処することができました。 XNUMX次方程式たとえ無邪気に見える人であっても：
そしてその要素のうちのどれか
はい、科学者はすでにXNUMX世紀にこれを行っていた可能性があります。 より高次の方程式が考慮されたことを推測するのは難しくありません。 そして何もありません。 二百年間、誰も成功しなかった。 ニールス・アベルも失敗した。 そして彼は、おそらくこれは完全に不可能であることに気づきました。 それは証明できる そのような方程式を解くことは不可能です ――というか、解を簡単な算術式で表します。
それは2の最初のものでした。 このタイプの推論の年 (!): 何かを証明できない、何かを行うことができない. そのような証明の独占は数学に属しています - 実践科学はますます障壁を破っています. 1888 年、米国特許委員会の委員長は、「ほとんどすべてがすでに発明されているため、将来の発明はほとんど期待できない」と宣言しました。 今日、私たちはこれを笑うことさえ困難です... しかし、数学では、一度証明されると、それは失われます。 それはできません。
歴史は、私が説明した発見を次のように分割します。 ニールス・アベル i エヴァリスト・ガロア二人とも「神に選ばれた者」として同時代人から評価されず、XNUMX歳になる前に亡くなった。 ニールス・アーベルは、広く名声を博した数少ないノルウェーの数学者の XNUMX 人です (実際には XNUMX 人いて、XNUMX 人目は... ソファス・リー、1842年から1899年 - 姓はスカンジナビアっぽく聞こえませんが、両方ともネイティブのノルウェー人でした）。
ノルウェー人はスウェーデン人と対立しています - 残念ながら、これは近隣の人々の間で一般的です。 ノルウェー人がアーベル賞を設立した動機の XNUMX つは、彼らの同胞にアルフレッド・ノーベルを見せたいという願望でした。
存在しない証拠金エントリーを追いかける
ニールス・ヘンリック・アベルについては以上です。 さて、受賞者は63歳のイギリス人（アメリカ在住）です。 1993 年の彼の偉業は、エベレスト登頂や月面歩行などとしか比較できません。 先生は誰ですか アンドリューワイルズ? 彼の出版物のリストと、考えられるさまざまな引用インデックスを見れば、彼は優れた科学者であることがわかります。その数は数千にも及びます。 しかし、彼は最も偉大な数学者の一人とみなされています。 彼の研究は数論であり、以下の関係を使用しています。 代数幾何学 オラズ 表現理論.
彼は数学の観点からはまったく無関係な問題を解決したことで有名になった フェルマーの最終定理の証明 （私が何を言っているのかわからない人は、以下で思い出してください）。 しかし、本当の価値は、解決策そのものではなく、他の多くの重要な問題を解決するために使用される新しい研究方法の作成にありました。
現時点では、特定の事柄の重要性や人類の業績の階層について考えずにはいられません。 何十万人もの若者が他の人より上手にボールを蹴ることを夢見ており、何万人もの若者がヒマラヤの風にさらされ、橋の上のゴムから飛び降り、歌と呼ぶ音を立て、不健康な食べ物を他人に詰め込み、あるいは問題を解決したいと考えている。誰にとっても不必要な方程式。 エベレストの最初の征服者、 エドワード・ヒラリー卿、彼がそこに行った理由の質問に直接答えました：「彼がいるから、エベレストがいるからです！」 これらの言葉の著者は生涯数学者であり、それは私の人生のレシピでした。 唯一の正解！ しかし、この哲学を終わらせましょう。 数学の健全な道に戻りましょう。 フェルマーの定理について大騒ぎするのはなぜですか?
私たちは皆、それらが何であるかを知っていると思います 素数。 「素因数分解する」というフレーズは、特に私たちの幼い息子が時計を部品に変えるとき、誰もが理解できるでしょう。
ピエール・ド・フェルマー (1601-1665) はトゥールーズ出身の弁護士でしたが、数学の素人でもあり、数論と解析の多くの定理の著者として数学の歴史に名を残したので、非常に優れた成績を収めました。 彼は読んだ本の欄外にメモやコメントを置く習慣がありました。 それはその通りです - 1660 年頃、彼は欄外の XNUMX つに次のように書きました。
ピエール・ド・フェルマーについては以上です。 彼の時代以来（勇敢なガスコンの貴族ダルタニャンは当時フランスに住んでおり、ポーランドではアンジェイ・クミチッチがボグスワフ・ラジヴィルと戦ったことを思い出してもらいたい）、数百人、おそらくは数千人の大小の数学者が再構築を試みたが失敗した。天才アマチュアの失われた推理。 今日、私たちはフェルマーの証明が正しいはずがないことを確信していますが、次のような単純な疑問は迷惑でした。 方程式xn +あなたn = さんn、n> 2 には自然数の解があります。? それは難しいかもしれません。
23 年 1993 月 XNUMX 日に出勤した数学者の多くは、電子メール (当時は新鮮で、まだ温かい発明でした) の中に、「イギリスからの噂: ワイルズがフェルマーを証明する」という簡潔なメッセージを見つけました。 翌日、日刊紙はこのことについて記事にし、ワイルズの一連の講演の最後の回には、まるで有名なサッカー選手の会見のように、マスコミ、テレビ、フォトジャーナリストが集まった。
コーネル・マクシンスキ著『XNUMX年生からの悪魔』を読んだことのある人なら誰でも、アダシュ・チソフスキによって学生への質問システムが発見された歴史教授の弟であるイウォ・ガンソウスキ氏がやったことを確実に覚えているだろう。 イウォ・ガンソウスキーはフェルマーの方程式を解き、時間とお金を無駄にし、家を無視していました。
最後に、イウォさんは高額な請求では家族の幸せは保証されないことに気づき、諦めました。 マクシンスキ氏は科学が好きではなかったが、ゴンソフスキ氏の意見は正しかった。 イウォ・ガンソフスキーは一つ根本的な間違いを犯した。 彼は良い意味での専門家になろうとはせず、ただ素人のふりをしていた。 アンドリュー・ワイルズはプロです。
フェルマーの最終定理との闘いの歴史は興味深い。 素数である指数についてそれらを解くだけで十分であることが非常に簡単にわかります。 n = 3 の場合、解決策は 1770 年に与えられました。 レナード・オイラー、n = 5 の場合 – ピーター・グスタフ・ルジューヌ・ディリクレ （1828）および アドリエンヌ・マリー・ルジャンドル 1830 年、n = 7 – ガブリエル・ラメ 1840年に。 XNUMX世紀、ドイツの数学者はフェルマーの問題にエネルギーのほとんどを費やしました エルンスト・エドゥアルド・クンマー （1810-1893）。 彼は最終的な成功を収めることはできませんでしたが、多くの特殊な場合を証明し、素数の多くの重要な性質を発見しました。 現代の代数学、理論算術、代数的整数論の多くは、フェルマーの定理に関するクンマーの研究にその起源を負っています。
古典的な数論の方法を使用してフェルマーの問題を解くとき、それらは複雑さの 150 つの異なるケースに分類されました。000 つ目は、積 xyz が指数 n と互いに素であると仮定する場合、6 つ目は、数値 z が次の数で等しく割り切れる場合です。指数。 000 番目のケースでは、n = 000 まで、最初のケースでは、n = 000 まで解が存在しないことが知られています (Lehmer、1981)。 これは、反例の可能性はいずれにせよ不可能であることを意味します。取得するには XNUMX 億桁のアカウントが必要になるでしょう。
ここで古い話をします。 1988 年の初めに、数学の世界では次のことが知られていました。 宮岡洋一 ある不等式が証明され、そこから次のことがわかりました。指数 n だけが十分に大きい場合、フェルマー方程式には明らかに解がありません。 少し前のドイツの結果と比較すると、 ゲルト・ファルティングス (1983) 宮岡の結果は、解が存在するとしても、その解の数は有限であることを意味しました (比例の観点から)。 したがって、フェルマーの問題の解決策は、多くの事例の結末を列挙することに帰着した。 残念ながら、その数は不明でした。宮岡氏が使用した方法では、すでに「秩序ある」数を推定することはできませんでした。
ここで注目に値するのは、フェルマーの定理の研究は長年にわたり、純粋な数論の枠組み内ではなく、代数から派生しデカルト解析幾何学の拡張である数学的学問である代数幾何学の枠組み内で行われてきたということです。そして現在では、数学の基礎 (論理における理論トポイ) から、数学的解析 (コホモロジー法、関数層)、古典幾何学、理論物理学 (ベクトル バンドル、ツイスター空間、ソリトン) まで、ほぼあらゆる場所に広がっています。
名誉が重要ではないとき
フェルマーの問題の解決に多大な貢献を果たした数学者の運命を悲しまないわけにはいきません。 アラキエルのことを話しているのですが（スレン・ユリエヴィチ・アラケロフ、アルメニアのルーツを持つウクライナの数学者）は、80年代初頭、彼がXNUMX年生だったときに、いわゆるものを作成しました。 算術多様体に関する交差理論。 このようなサーフェスは穴や不完全さが多く、サーフェス上の曲線が突然消えたり、再び現れたりすることがあります。 交差理論では、このような曲線の交差度を計算する方法を説明します。 これは、ファルティングスと宮岡がフェルマーの問題に取り組む際に使用した主なツールでした。
ある日、アラケロフは大規模な数学会議で自分の結果を発表するよう招待されました。 しかし、彼はソ連の体制を批判したため、出国を拒否された。 すぐに彼は軍隊に徴兵されました。 彼は平和主義の理由から兵役全般に反対していることを明確に示した。 かなり疑わしい情報源から聞いたところによると、彼は閉鎖された精神病院に送られ、そこで約XNUMX年間過ごしたと言われている。 知られているように、明らかに政治的目的で、ソ連の精神科医は特殊なタイプの統合失調症（英語ではロシア語で「鈍い」を意味する）を特定した。 軽度の統合失調症).
私の情報源はあまり信頼できるものではないため、実際に何が起こったのかを XNUMX パーセント言うのは困難です。 どうやら、アラケロフは退院後、ザゴルスクの修道院で数ヶ月を過ごした。 現在、妻とXNUMX人の子供とともにモスクワに住んでいます。 彼は数学をしません。 アンドリュー・ワイルズは名誉とお金に満ちています。
栄養の行き届いたヨーロッパ社会の観点からすると、この措置も理解できない グリゴリー・ペレルマンは、2002 年に XNUMX 世紀で最も有名なトポロジー問題を解決しました。」ポイナリ予想そして彼は考えられるすべての報酬を拒否しました。 まず、数学者がノーベル賞に相当すると考える前述のフィールズ賞、次に XNUMX 世紀に残された XNUMX つの最も重要な数学問題の XNUMX つを解決した場合に XNUMX 万ドルの賞金が与えられます。 「他の人のほうがよかった。数学が趣味で、食べ物もタバコもあるから、名誉など気にしていない」と彼は多かれ少なかれ世間を驚かせた。
300年以上を経ての成功
フェルマーの最終定理は確かに最も有名で印象的な数学問題でした。 XNUMX 年以上にわたってオープンされており、非常に明確で読みやすい方法で定式化されており、理論的には誰でも攻撃することが可能でした。また、コンピューターが普及した時代には、新たな記録を破ろうとするのは比較的簡単でした。考えられる解決策を見積もる。 数学の歴史において、この問題は、その刺激的な役割を通じて、非常に重要な「文化形成」の役割を果たし、数学分野全体の創造に貢献しました。 この問題自体は比較的些細なものであり、フェルマー方程式の根の欠如に関する情報は数学的知識の一般的な宝庫にあまり貢献していないため、これは奇妙です。
1847 年、ガブリエル ラメ (1795-1870) はフランス科学アカデミーで講義を行い、フェルマーの問題の解決策を発表しました。 しかし、推論における微妙な誤りはすぐに気づきました。 それは独自の分解定理の不正使用に基づいていました。 私たちは学校で、各数値が素因数に明確に分解されることを覚えています。たとえば、2012 = 2 ∙ 2 ∙ 503 です。数値 503 には約数がない (1 と 503 自体を除く) ため、これ以上拡張することはできません。
正の整数には一意の分布という特性がありますが、他の数値セットの中に存在する必要はありません。 たとえば、文字番号の場合
36 = 2 です2⋅23 、だけでなく
Lame の証明を分析することによって、Kummer は p のいくつかの指数に対する Fermat の予想の妥当性を証明することができました。 彼はそれらを通常の素数と呼びました。 これは、完全な証明に向けた最初の重要なステップでした。 フェルマーの定理にまつわる神話が生まれました。 「それとも、もっと悪いことかもしれません。もしかしたら、解決することが可能か不可能かを証明することさえできないのでしょうか?」
しかし、80年代以降、誰もが目標が近いと感じていました。 ベルリンの壁がまだ立っていて、「すぐに、すぐに」という講義を聞いていたのを覚えています。 まあ、誰かが最初でなければなりませんでした。 アンドリュー・ワイルズは、「フェルマーがそれを証明していると思います」という英語で講演を締めくくった。混雑した聴衆が何が起こったのかを理解するまでには、しばらく時間がかかった。連隊自体と、マクシンスキーの小説のイヴォ・ゴンソフスキーなどの無数のアマチュア。 アンドリュー・ワイルズは、ノルウェー国王ハラルド 330 世と握手を交わす栄誉に浴しました。 おそらく、彼はアーベル賞の控えめな手当、約数十万ユーロに注意を払っていませんでした-なぜ彼はそんなに多くのお金が必要なのでしょうか?
