暗号とスパイ
今日の数学コーナーでは、全米児童財団の毎年恒例の子供向けサイエンス キャンプで取り上げたトピックを見ていきます。 財団は、科学的関心を持つ子供と若者を探しています。 極端に才能がある必要はありませんが、「科学的な才能」は必要です。 非常に良い学校の成績は必要ありません。 試してみてください。気に入るかもしれません。 小学校高学年以上の方はご応募ください。 通常、保護者または学校が報告を行いますが、常にそうであるとは限りません。 財団のウェブサイトを見つけて調べてください。
以前は「プログラミング」として知られていた活動を参照して、「コーディング」について学校でますます多くの話があります。 これは、理論教育者にとって一般的な手順です。 彼らは古い方法を掘り起こし、新しい名前を付け、「進歩」はそれ自体で作られます。 このような周期的な現象が発生する領域がいくつかあります。
私は教訓を切り下げていると結論付けることができます。 いいえ。 文明の発展の中で、私たちは時々、以前の状態に戻り、放棄され、現在復活しています。 しかし、私たちのコーナーは数学的なものであり、哲学的なものではありません。
特定のコミュニティに属するということは、「一般的な記号」、一般的な読み方、ことわざ、たとえ話も意味します。 「シュチェブジェシンには大きな茂みがあり、葦でカブトムシが鳴っている」というポーランド語を完全に学んだ人は、キツツキが何をしているのかという質問に答えなければ、すぐに外国のスパイとしてさらされます。 もちろん彼は窒息している！
これは単なる冗談ではありません。 1944年XNUMX月、ドイツ軍はアルデンヌで最後の攻撃を多大な費用をかけて開始しました。 彼らは流暢な英語を話す兵士を動員して、例えば交差点で彼らを間違った方向に導くことによって、連合軍の動きを妨害した。 驚いた瞬間の後、アメリカ人は兵士たちに疑わしい質問をし始めました。その答えはテキサス、ネブラスカ、ジョージアの人には明白で、そこで育った人には考えられないでしょう。 現実の無知は直接処刑につながりました。
ポイントへ。 Lukasz Badowski と Zaslaw Adamashek による本「机の引き出しの中の実験室 - 数学」を読者にお勧めします。 これは、数学が本当に何かに役立つこと、そして「数学実験」が空の言葉ではないことを見事に示している素晴らしい本です. とりわけ、説明されている「厚紙の謎」の構造が含まれています。これは、作成にXNUMX分しかかからず、本格的な暗号機のように機能するデバイスです。 アイデア自体は非常によく知られており、言及された著者はそれを見事に解決しました。
弓のこ
ワルシャワの郊外にある私のダーチャ村の通りの XNUMX つで、舗装は最近、六角形の舗装スラブである「トルリンカ」から解体されました。 乗り心地は不快でしたが、数学者の魂は喜びました。 平面を規則的な (すなわち規則的な) 多角形で覆うことは容易ではありません。 三角形、四角形、正六角形のみです。
この精神的な喜びで少し冗談を言ったのかもしれませんが、六角形は美しい姿です。 それからあなたはかなり成功した暗号化デバイスを作ることができます。 ジオメトリが役立ちます。 六角形には回転対称性があります。60度の倍数で回転すると、六角形は重なり合います。 たとえば、左上に文字Aが付いているフィールド 図。 1 この角度を回した後、ボックスAにも落ちます-そして他の文字でも同じです. それでは、グリッドからそれぞれ異なる文字の 60 つの正方形を切り取ってみましょう。 このようにして得られたグリッドを一枚の紙に置きます。 無料の XNUMX つのフィールドに、暗号化するテキストの XNUMX 文字を入力します。 シートを XNUMX 度回転させてみましょう。 XNUMX つの新しいフィールドが表示されます。メッセージの次の XNUMX 文字を入力します。
米。 1.数学の喜びのTrlinks。
右側に 図。 1 このようにエンコードされたテキストがあります：「駅には巨大な重い蒸気機関車があります。」
これで、ちょっとした学校の数学が役に立ちます。 XNUMXつの数字を互いに相対的に配置する方法はいくつありますか？
なんてばかげた質問？ XNUMXつの場合：どちらかが前またはもう一方。
罰金。 そしてXNUMXつの数字？
すべての設定を一覧表示することも難しくありません。
123、132、213、231、312、321。
さて、XNUMX人用です！ それでも明確に綴ることができます。 私が置いた順序ルールを推測します：
1234、1243、1423、 4123、1324、1342,
1432、 4132、2134、2143、2413、 4213、
2314、2341、2431、 4231、3124、3142,
3412、 4312、3214、3241、3421、 4321
数字が120の場合、XNUMXの可能な設定が得られます。 それらを呼びましょう 順列。 n個の数の可能な順列の数は、次の積1 2 3...nです。 強い 感嘆符が付いています：3！= 6、4！= 24、5！=120。 次の番号6には、6！=720があります。 これを使用して、六角形の暗号シールドをより複雑にします。
0から5までの数字の順列、たとえば351042を選択します。六角形のスクランブリングディスクの中央のフィールドにはダッシュがあり、図のように「ゼロの位置」に配置できます。 1.このようにして、レポートを書く必要のある紙にディスクを置きますが、すぐには書きませんが、60度（つまり180度）で60回回転させ、60文字を入力します。空のフィールド。 開始位置に戻ります。 ダイヤルを0度、つまりダイヤルのXNUMXつの「歯」でXNUMX回回します。 印刷します。 次のスケール位置は、ゼロを中心にXNUMX度回転した位置です。 XNUMX番目の位置はXNUMX度で、これが開始位置です。
何が起こったのか分かりますか？ 私たちには追加の機会があります-私たちの「機械」を66倍以上複雑にすることです！ したがって、「オートマトン」には46656つの独立した位置があります。グリッドの選択と順列の選択です。 グリッドは720=33592320の方法、順列33で選択できます。これにより、XNUMXの可能性が得られます。 XNUMX万を超える暗号！ ほぼ少し少ないので一部のグリッドは紙から切り取ることができません。
下部に 図。 1 このようにコード化されたメッセージがあります：「私はあなたにXNUMXつのパラシュート部門を送ります。」 敵がこれについて知ることを許されるべきではないことは容易に理解できます。 しかし、彼はこれのいずれかを理解しますか？
ТПОРОПВМАНВЕОРДИЗЗ
YYLOAKVMDEYCHESH、
署名351042でも？
ドイツの暗号マシンであるエニグマを構築しています
米。 2.暗号化マシンの初期設定の例。
順列（AF）（BJ）（CL）（DW）（EI）（GT）（HO）（KS）（MX）（NU）（PZ）（RY）。
すでに述べたように、このような段ボール機械を作成するというアイデアは、「Lab in a Drawer - Mathematics」という本のおかげです。 私の「構成」は、その作成者によって与えられたものとは多少異なります。
戦争中にドイツ人が使用した暗号機は、XNUMX進暗号で見たものとやや似た、独創的に単純な原理を持っていました。 毎回同じこと： 別の手紙への手紙の難しい割り当てを破る。 交換可能である必要があります。 それを制御するためにそれを行う方法は？
任意の順列ではなく、長さ 2 のサイクルを持つ順列を選びましょう。簡単に言えば、数か月前にここで説明した "Gaderipoluk" のようなものですが、アルファベットのすべての文字をカバーしています。 24 文字について同意しましょう - ą、ę、ć、ó、ń、ś、ó、ż、ź、v、q を除きます。 そのような順列はいくつありますか? これは高卒向けの課題です（すぐに解けるはずです）。 幾つか？ たくさんの？ 数千？ はい：
1912098225024001185793365052108800000000（この番号を読み取ろうとさえしないでください）。 「ゼロ」の位置を設定する可能性は非常にたくさんあります。 そして、それは難しいかもしれません。
私たちのマシンはXNUMX枚の丸いディスクで構成されています。 まだ立っているそれらのXNUMXつに、手紙が書かれています。 これは、ダイヤルを最後まで回して番号をダイヤルした古い電話のダイヤルに少し似ています。 ロータリーは配色のXNUMX番目です。 最も簡単な方法は、ピンを使用して通常のコルクにそれらを置くことです。 コルクの代わりに、薄いボードまたは厚いボール紙を使用できます。 Lukasz BadowskiとZasławAdamaszekは、両方のディスクをCDボックスに入れることを推奨しています。
ARMATYという単語をエンコードしたいとします（米。 2と3）。 デバイスをゼロ位置 (上矢印) に設定します。 文字 A は F に対応します。内部回路を XNUMX 文字右に回転させます。 エンコードする文字 R があり、これは A に対応します。次の回転の後、文字 M が U に対応することがわかります。次の回転 (XNUMX 番目の図) では、A - P の対応が得られます。XNUMX 番目のダイヤルには T があります。 - A. 最後に (XNUMX 番目のサークル) Y – Y 敵はおそらく、私たちの CFCFA が彼にとって危険であるとは推測しません。 そして、「私たち」はどのように発送を読みますか？ それらは同じマシン、同じ「プログラム」、つまり同じ順列を持つ必要があります。 暗号は位置ゼロから始まります。 したがって、F の値は A です。ダイヤルを時計回りに回します。 文字 A は R に関連付けられています。彼はダイヤルを右に回すと、文字 U の下に M などがあります。暗号係は将軍に駆け寄ります。
米。 3.私たちの論文Enigmaの動作原理。
| 米。 3.私たちの論文Enigmaの動作原理。 | ||
このような原始的なエニグマでさえ、その可能性は驚くべきものです。 他の出力順列を選択できます。 XNUMX つの「セリフ」で定期的にではなく、六角形に似た特定の毎日変化する順序で (たとえば、最初の XNUMX 文字、次に XNUMX 文字、次に XNUMX 文字、XNUMX 文字... ..など.)。
どうやって推測できますか？！ それでもポーランドの数学者にとっては（マリアン・リーフスキー, ヘンリー・ジガルスキー, Jerzy Ruzicki） 起こりました。 このようにして得られた情報は非常に貴重でした。 以前は、彼らは私たちの防衛の歴史に等しく重要な貢献をしていました。 Vaclavシェルピンスキー i スタニスラフ・マズルケビッチ1920年にロシア軍のコードに違反した人。 傍受されたケーブルは、ピウスツキにヴェプス川から有名な操縦をする機会を与えました。
ヴァーツラフ・シエルピンスキー（1882-1969）を覚えています。 彼は外の世界が存在しなかった数学者のようでした。 彼は1920年の勝利への参加について、軍事的理由と政治的理由の両方で話すことができませんでした（ポーランド人民共和国の当局は、ソビエト連邦から私たちを擁護した人々を嫌っていました）。
図。 4.順列（AP）（BF）（CM）（DS）（EW）（GY）（HK）（IU）（JX）（LZ）（NR）（OT）。
米。 5.美しい装飾ですが、暗号化には適していません。 定期的すぎます。
1ジョブ Na 図。 4 エニグマを作成するための別の順列があります。 図面をゼログラフにコピーします。 車を作り、名前と名前をコーディングします。 私のCWONUEJTRYGT。 メモを非公開にする必要がある場合は、CardboardEnigmaを使用してください。
2ジョブ あなたが見た「車」の1つのあなたの名前と姓を暗号化しますが、（注意！）追加の複雑さがあります：右に2ノッチではなく、スキーム{3、2、1、2、3、 2, 1, 2, 1, ....} - つまり、最初に 2、次に XNUMX、次に XNUMX、次に XNUMX、次に再び XNUMX、次に XNUMX など、このような「ウェーブレット」 . 私の姓名が CZTTAK SDBITH として暗号化されていることを確認してください。 エニグマ マシンがどれほど強力だったかを理解できましたか?
高校卒業生のための問題解決。 エニグマの構成オプションはいくつありますか (記事で説明されているように、このバージョンでは)? 24文字あります。 最初の文字のペアを選択します - これはで行うことができます
方法。 次のペアはで選択できます
方法、もっと
等対応する計算（すべての数値を乗算する必要があります）の後、次のようになります。
151476660579404160000
次に、その数を 12 で割ります。 (12 階乗)、同じペアが異なる順序で取得される可能性があるためです。 最終的には「合計」になります。
316234143225、
これは300億をわずかに超えており、今日のスーパーコンピューターにとっては驚くほど多くはないようです。 ただし、順列自体のランダムな順序を考慮に入れると、この数は大幅に増加します。 他のタイプの順列も考えることができます。
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