SO TO WHOM: TRY WHERE YOU CAN - パート 2

前回のエピソードでは、基本的に特定のルールに従ってさまざまな表に数字を配置する算術ゲームである数独について説明しました。 最も一般的なオプションは 9x9 のチェス盤で、さらに 3 つの 3x1 の正方形に分割されます。 9 から XNUMX までの数字は、縦の行 (数学者は「列」と言う) または横の行 (数学者は「行」と言う) で繰り返されないように設定する必要があります。彼らが繰り返さないように。 任意の小さな正方形内で繰り返します。

Na 図。 1 このパズルは、より単純なバージョンで、6 × 6 の正方形を 2 × 3 の長方形に分割したもので、そこに 1、2、3、4、5、6 の数字を挿入します。水平方向または選択した各六角形内で。

一番上の四角に表示されているものを試してみましょう。 このゲームのルールに従って、1 から 6 までの数字を入力できますか? 可能ですが、あいまいです。 見てみましょう-左側に正方形を描くか、右側に正方形を描きます。

これはパズルの基礎ではないと言えます。 私たちは通常、パズルには 9 つの解決策があると想定しています。 「大きな」数独、9xXNUMX のさまざまなベースを見つける作業は困難な作業であり、完全に解決する可能性はありません。

もう2つの重要なつながりは、矛盾したシステムです。 一番下の真ん中の四角（右下隅にある数字の XNUMX の四角）は完成できません。 なぜ？

楽しみとリトリート

引き続きプレイしてみましょう。 子どもの直感を活用しましょう。 彼らは、エンターテイメントは学習への導入であると信じています。 宇宙へ行きましょう。 含まれています 図。 2 誰もがグリッドを見ます 四面体ピンポン球などのボールでできていますか？ 学校の幾何学の授業を思い出してみましょう。 写真の左側の色は、ブロックを組み立てるときに何に接着するかを説明しています。 特に、角 (赤) の 9 つのボールは接着されて XNUMX つになります。 したがって、それらには同じ番号が含まれている必要があります。 おそらくXNUMX。なぜですか? なぜそうではないのでしょうか？

ああ、言葉には出さなかった タスク。 それは次のようなものです: 各エッジにすべての数字が含まれるように、0 から 9 までの数字を目に見えるグリッドに収めることは可能ですか? 作業は難しくありませんが、たくさんの想像力が必要です。 読者の楽しみを台無しにしたり、解決策を提供したりするつもりはありません。

これは非常に美しく過小評価されている形状です 正八面体、正方形の底面を持つXNUMXつのピラミッド（=ピラミッド）から構築されています。 名前が示すように、八面体には XNUMX つの面があります。

八面体には XNUMX つの頂点があります。 これは矛盾しています 立方体XNUMX つの面と XNUMX つの頂点があります。 両方の塊の端は同じで、それぞれ XNUMX 個あります。 これ ダブルソリッド -これは、立方体の面の中心を接続することで八面体が得られ、八面体の面の中心が立方体になることを意味します。 これらの隆起は両方とも実行されます (「そうしなければならないため」) オイラーの公式: 頂点の数と面の数の合計は、エッジの数より 2 多くなります。

3. 平行投影の正八面体と、各辺に XNUMX つの球が含まれるように球で構成される八面体の格子。

1ジョブ まず、前の段落の最後の文を数式を使って書きます。 の上 図。 3 八面体のネットワークがあり、これも球で構成されています。 各エッジに 0 つのボールがあります。 各面は 9 個の球からなる三角形です。 課題は独立して提起されます。固体を接着した後、各壁にすべての数字が含まれるように、グリッドの円の中に XNUMX から XNUMX までの数字を入れることができますか (繰り返しなしで結果が続きます)。 前と同様、この問題の最大の課題は、メッシュがどのようにソリッドに変わるかです。 これを文章で説明することはできないので、ここでも解決策は示しません。

4. ピンポン球から作られた XNUMX つの正二十面体。 異なる配色に注目してください。

すでに プラトン (そして彼は紀元前 XNUMX 世紀から XNUMX 世紀に生きていました) 正多面体をすべて知っていました: 四面体、立方体、八面体、 十二面体 i 正二十面体. 彼がどうやってそこにたどり着いたのかは驚くべきことです - 鉛筆も、紙も、ペンも、本も、スマートフォンも、インターネットもありません! ここでは十二面体については触れません。 でも正二十面体数独は面白い。 このしこりが見えます イラスト4そして彼のネットワークは 図5

5. 正二十面体メッシュ。

前と同じように、これは学校で覚えている（?!）という意味のグリッドではなく、ボール（ボール）から三角形を接着する方法です。

2ジョブ このような正二十面体を組み立てるには何個のボールが必要ですか? 次の推論は依然として正しいでしょうか。各面は三角形であるため、面が 20 個ある場合、60 個もの球が必要になります。

6. 球の正二十面体メッシュ。 それぞれの円は、たとえばピンポン球を表しますが、同じ色でマークされた円の上に円を構築すると、XNUMX つの全体に統合されます。 したがって、XNUMX 個の球 (= XNUMX 個の頂点: 赤、青、紫、青、および XNUMX 個の黄色) があります。

正二十面体の 1 つの数では不十分であることが簡単にわかります。 より正確に言えば、頂点に 2、3、XNUMX の番号を付けて、各 (三角形) 面がこれら XNUMX つの番号を持ち、繰り返しが存在しないようにすることは不可能です。 XNUMXつの数字でも可能でしょうか？ はい、可能です！ 見てみましょう 米。 6と7.

7. 正二十面体を構成する球体に、各面に 1、2、3、4 以外の数字が含まれるように番号を付ける方法を次に示します。 こうやって4色？

3ジョブ 123 つの数字のうち 124 つは、134、234、7、XNUMX の XNUMX つの方法で選択できます。図の XNUMX 面体でそのような三角形を XNUMX つ見つけてください。 XNUMX (およびから イラスト4).

4ジョブ （非常に優れた空間想像力が必要です）。 正二十面体には XNUMX 個の頂点があるため、XNUMX 個のボールを接着することができます (図。 7）。 1 というラベルが付けられた頂点 (= ボール) が 2 つ、XNUMX というラベルが付けられた頂点 (= ボール) が XNUMX つあることに注目してください。 したがって、同じ色のボールは三角形を形成します。 これはどんな三角形ですか？ もしかして正等辺？ もう一度見てください イラスト4.

次の課題は祖父母と孫です。 親もようやく挑戦できるようになりますが、忍耐と時間が必要です。

5ジョブ 24 個 (できれば 1 個) のピンポン玉、2 色の絵の具、筆、必要な接着剤を購入します。瞬間接着剤や液滴などのすぐに乾くものは乾燥が早すぎて子供にとって危険なので、お勧めしません。 正二十面体を接着します。 孫娘には、すぐに洗濯される（または捨てられる）T シャツを着せてください。 テーブルをホイル（できれば新聞紙）で覆います。 図のように正二十面体を 3、4、XNUMX、XNUMX の XNUMX 色で慎重に色付けします。 図。 7. 順序を変更できます。最初に風船に色を付けてから接着します。 同時に、塗料が塗料にくっつかないように、小さな円を塗装しないでおく必要があります。

さて、最も困難なタスク（またはむしろそのシーケンス全体）です。

6ジョブ (より正確には、一般的なトピック)。 四面体や八面体のような二十面体を構築します。 米。 2と3 これは、各エッジに XNUMX つのボールがあることを意味します。 このバリアントでは、タスクに時間がかかり、コストがかかることさえあります。 必要なボールの数を調べることから始めましょう。 各面には XNUMX 個の球があるので、XNUMX 面体は XNUMX 個必要ですか? いいえ！ 多くのボールが共有されていることを覚えておく必要があります。 二十面体にはいくつの辺がありますか? 手間をかけて計算することはできますが、オイラーの公式は何のためのものでしょうか?

w–k+s=2

ここで、w、k、s はそれぞれ頂点、エッジ、面の数です。 w = 12、s = 20、つまり k = 30 であることを覚えています。正二十面体の辺は 30 個あります。 20 個の三角形がある場合、エッジは 60 個しかありませんが、そのうちの XNUMX つは共通であるため、別の方法で行うこともできます。

必要なボールの数を数えてみましょう。 それぞれの三角形には、体の上部にも端にも、内側のボールが 20 つだけあります。 したがって、そのようなボールは 12 個しかありません。 ピークは30個あります。 各エッジには 60 つの非頂点ボールがあります (それらはエッジの内側にありますが、面の内側にはありません)。 辺が30個あるので玉は20個になりますが、そのうち12個が共通なので玉は30個で済むので、合計62＋50＋XNUMX＝XNUMX個必要になります。 ボールは少なくとも XNUMX グロッシェン (通常はそれ以上) で購入できます。 接着剤のコストを加えると、かなりの金額になります。 うまく接着するには数時間の骨の折れる作業が必要です。 これらはすべて、リラックスした娯楽に適しています。たとえば、テレビを見る代わりにそれらをお勧めします。

余談1。 アンジェイ・ワイダ監督の一連の映画『By the Years, by the Days』では、4 人の男性が「昼食までの時間を何とか潰す必要があるから」チェスをします。 ガリシア地方のクラクフで開催されます。 実際、新聞はすでに読まれており（当時は XNUMX ページありました）、テレビや電話はまだ発明されておらず、サッカーの試合もありません。 水たまりの退屈。 そのような状況の中で、人々は自分たちのためにエンターテイメントを考え出しました。 今日はリモコンを押したら出てきました…。

余談2。 2019年の数学教師協会の会合で、スペイン人の教授が固体の壁を任意の色で塗装できるコンピュータープログラムをデモンストレーションした。 手だけ描いて体を切り落としそうになったのでちょっと不気味でした。 こういう「絵」ってどれだけ楽しいんだろう、と思ったんです。 すべてにXNUMX分かかりますが、XNUMX分目までには何も覚えていません。 一方、昔ながらの「手作り」は心を落ち着かせ、教育します。 信じられない人は試してみてください。

XNUMX世紀と私たちの現実に戻りましょう。 労働集約的なボールの接着という形での緩和を望まない場合は、少なくともエッジに XNUMX つのボールがある XNUMX 面体メッシュを描画します。 どうやってするの？ 正しく崩れる 図6 注意深い読者ならすでに問題を推測できます。

7ジョブ このような二十面体の各面に、0 から 9 までの数字がすべて入るように、ボールに番号を付けることは可能でしょうか。

私たちは何のためにお金をもらっているのでしょうか？

今日、私たちは自分たちの活動の目的について疑問に思うことがよくありますが、「灰色の納税者」は、なぜそのようなパズルを解くために数学者にお金を払わなければならないのかと尋ねるでしょう。

答えはとても簡単です。 このような「パズル」は、それ自体は興味深いものですが、「より深刻なものの断片」です。 結局のところ、軍事パレードは困難な任務の外側の華やかな部分にすぎません。 ほんの 1852 つの例を挙げますが、数学という奇妙な、しかし国際的に認知されている主題から始めます。 XNUMX 年、英国の学生が教授に、近隣諸国が常に異なる色で表示されるように地図を XNUMX 色で色分けすることはできないか、と尋ねました。 米国のワイオミング州とユタ州のように、一点でしか交わらない州を「隣接」とは考えていないことを付け加えておきます。 教授は知りませんでした...そしてこの問題は百年以上も解決を待ちました。

8. RECO ブロックの正二十面体。 フラッシュ反射板は、正二十面体が三角形や五角形と共通しているものを示します。 XNUMX つの三角形が各頂点で交わります。

それは予期せぬ方向から起こりました。 1976 年、アメリカの数学者のグループがこの問題を解決するプログラムを書きました (そして彼らは、はい、常に XNUMX 色で十分であると判断しました)。 これは、コンピューターが半世紀前 (そしてさらに以前は「電子頭脳」と呼ばれていた) と呼ばれていた「数学マシン」の助けを借りて得られた数学的事実の最初の証明でした。

これは、特別に表示された「ヨーロッパの地図」です (図。 9）。 共通の国境を共有する国々はつながっています。 地図に色を付けることは、そのグラフ (グラフと呼ばれます) の円に色を付けることと同じなので、接続された円が同じ色になることはありません。 リヒテンシュタイン、ベルギー、フランス、ドイツを見てみると、XNUMX 色だけでは十分ではないことがわかります。 もしよかったら、読者さん、XNUMX色に色を塗ってください。

9. ヨーロッパでは誰が誰と国境を接していますか?

そうですね、しかしそれは納税者のお金を払う価値があるのでしょうか？ そこで、同じグラフを少し違った見方で見てみましょう。 州と国境があることを忘れましょう。 円は、ある地点から別の地点 (たとえば、P から EST) に送信される情報パケットを表し、セグメントはそれぞれ独自のスループットを持つ可能な接続を表します。 できるだけ早く送信しますか?

まず、非常に単純化されていますが、数学的な観点から非常に興味深い状況を見てみましょう。 同じ帯域幅、たとえば 1 の接続ネットワークを使用して、ポイント S (= 開始点) からポイント M (= 終了点) まで何かを送信する必要があります。 図。 10.

10. Stacyjka Zdroj から Megapolis までの接続ネットワーク。

約 89 ビットの情報を S から M に送信する必要があると想像してみましょう。 この言葉の作者は電車の問題が好きで、自分がステイシー・ズドルイ社のマネージャーで、そこから 144 両の車両を配車しなければならないところを想像しています。 メガポリス駅へ。 なぜ144なのか？ なぜなら、これから説明するように、これはネットワーク全体のスループットを計算するために使用されるからです。 キャパシティーは各サイトで 1 です。つまり、 単位時間当たり XNUMX 台の車が走行できます (XNUMX 情報ビット、場合によってはギガバイトも)。

すべての車が M で同時に集合するようにしましょう。全員が 89 時間単位で到着します。 送信する非常に重要な S to M 情報パッケージがある場合は、それを 144 単位のグループに分割し、上記のようにプッシュします。 計算上、これが最速であることが保証されます。 89 が必要だとどうしてわかったのですか? 実際には推測していましたが、推測していなかったら、それを理解する必要があったでしょう キルヒホッフ方程式 (誰か覚えていますか? - これらは電流の流れを表す方程式です)。 ネットワーク帯域幅は 184/89 で、およそ 1,62 に相当します。

喜びについて

ちなみに、私は144番が好きです。近くに復元された王城がなかった頃、この番号のバスに乗ってワルシャワの城広場に行くのが大好きでした。 おそらく若い読者は、12ダースが何であるかを知っているでしょう。 これは 122 部ですが、十数部あることを覚えているのは古い読者だけです。 144=XNUMX、これはいわゆる多数です。 そして、学校のカリキュラムよりも少しだけ数学を知っている人なら誰でも、すぐにそれを理解するでしょう。 図。 10 フィボナッチ数があり、そのネットワーク スループットは「黄金数」に近い

フィボナッチ数列では、完全な平方である数は 144 だけです。 XNUMXは「楽しい数字」でもあります。 インドのアマチュア数学者はこう語る ダッタトレヤ・ラマチャンドラ・カプレカール 1955 年に彼は、構成する数字の合計で割り切れる数字に名前を付けました。

彼がこれを知っていれば アダム・ミツキェヴィチ、彼は確かにDzyadyにノーと書いていたでしょう。 彼の血は彼の古い英雄です/そして彼の名前はXNUMXで、よりエレガントです：そして彼の名前はXNUMXです.

真剣に楽しみましょう

数独パズルは物事の面白い側面であり、間違いなく真剣に受け止められるべきものであるということを読者に納得していただければ幸いです。 これ以上この話題を発展させることはできません。 ああ、完全なネットワーク帯域幅の計算は、次のサイトで提供されているグラフから行います。 図。 9 連立方程式を書くには XNUMX 時間かそれ以上かかり、おそらく数十秒 (!) のコンピューター作業が必要でした。