何もない記事
子供の頃、私はおそらく多くの読者が知っているであろう「爪にスープ」についての物語に魅了されました。 私の祖母（誕生世紀）は、「コサックが来て水を求めました。彼には爪があり、その上でスープを作るからです」というバージョンでこれを私に言いました。 好奇心旺盛な女主人は彼にポットの水を差し出しました…そして私たちは次に何が起こったかを知っています：「スープは塩味、デーティエ、おばあちゃん、塩味でなければなりません」そして彼は「味を良くするために」肉を洗いました。 結局、「茹でた」釘は捨ててしまいました。
したがって、この記事は宇宙の空虚についてのものであるはずでした。そしてこれは、67 年 12 月 2014 日にヨーロッパの装置が彗星 XNUMXP / チュリュモフ・ゲラシメンコに着陸したことについてのものです。しかし、書いているうちに、私は長年の習慣に屈してしまいました。私はまだ数学者です。 どうですか 好きс 零 数学？
どうして何も存在しないのでしょうか？
何も存在しないとは言えません。 それは少なくとも哲学的、数学的、宗教的、そして完全に口語的な概念として存在します。 ゼロは普通の数字であり、温度計のゼロ度も温度であり、銀行の残高がゼロになることは不快ではありますが、よくあることです。 年表にはゼロ年がないことに注意してください。これは、ゼロが数学に導入されたのは中世後期になってからであり、修道士ディオニュシウスによって提案された年表（XNUMX世紀）よりも後のことです。
奇妙なことに、実際にはこのゼロがなくても、したがって負の数がなくても大丈夫です。 論理学の教科書の XNUMX つに、魚がいないときにどのように想像するかを描くか言うという練習問題を見つけました。 すごいですね。 誰でも魚を描けるのに、魚は描けないのですか？
では簡単に 基礎数学コース。 取り消し線の円 ∅ でマークされた空の集合に存在の特権を与えることは、数値の集合に XNUMX を追加するのと同様に必要な手順です。 空のセットは、要素を含まない唯一のセットです。 そのようなコレクション:
しかし、XNUMX つの異なる空集合は存在しません。 空のセットは他のすべてのセットに含まれます。
実際、数学的論理の規則によれば、次の文が存在する場合に限り、集合 A は集合 B に含まれます。
それは伴う
空集合 ∅ の場合、命題は常に偽であるため、論理の法則によれば、含意は一般に真になります。 すべては嘘から始まります（「次のクラスに移ったら、ここでサボテンを育てます...」）。 したがって、空集合は他のそれぞれに含まれているため、それらが XNUMX つの異なる集合である場合、それぞれは他方に含まれることになります。 ただし、XNUMX つのセットが相互に含まれている場合、それらは等しいです。 そのため、空のセットは XNUMX つだけです。
空集合の存在の仮定は数学の法則と矛盾しないので、それを実践してみてはいかがでしょうか。 と呼ばれる哲学的原理オッカムのかみそり» 不要な概念を排除する命令、しかしちょうどいい 空集合の概念は数学で非常に役立ちます。 空集合の次元は -1 (マイナス XNUMX) であることに注意してください。ゼロ次元の要素は点とその疎なシステムであり、XNUMX 次元の要素は線であり、フラクタルの章でフラクタル次元を持つ非常に複雑な数学的要素について説明しました。 。
興味深いのは、数字、数値、関数、演算子、積分、微分、方程式などの数学の構築全体が、空集合という XNUMX つの概念から導き出せることです。 空のセットがあると仮定するだけで十分です。新しく作成された要素は、次のことができるようにセットに結合できます。 すべての数学を組み立てる。 これは、ドイツの論理学者ゴットロブ・フレーゲが自然数を構築した方法です。 ゼロは、その要素が空の集合の要素と相互に対応する集合のクラスです。 XNUMX つは、要素が空集合のみである集合の要素と相互に対応する集合のクラスです。 XNUMX は、要素が空のセットで構成されるセットの要素と、空のセットが唯一の要素であるセットの要素と XNUMX 対 XNUMX であるセットのクラスです...などです。 一見すると、これは非常に複雑なことのように思えますが、実際はそうではありません。
青が私の上に広がった
ヘザーの香りとミントの香り…
ヴォイチェフ・ムリナルスキ『収穫の少女』
想像するのは難しい
想像するのが難しいことは何もありません。 スタニスワフ・レムの物語「いかにして世界は救われたか」の中で、デザイナーのトゥルルは手紙から始まるあらゆることを行う機械を作りました。 クラパウシウスがこの建物の建設を命じたとき ニック、マシンは世界からさまざまなオブジェクトを削除し始めました - すべてを削除するという最終目標を達成しました。 驚いたクラパウシウスが車を止める頃には、ゲラ、イチイ、ハンギング、ハック、ライム、ビーター、プーフ、グラインダー、串、フィリドロン、そしてフロストが世界から永遠に消えていた。 そして確かに、彼らは永遠に姿を消しました...
ユゼフ・ティシュナーは『山岳哲学史』の中で無について非常に詳しく書いています。 最後の休暇中、私はこの虚無を体験しようと決心し、ポドハレのノヴィ・タルグとヤブロンカの間の泥炭湿地に行きました。 この地域はプスタキアとも呼ばれています。 行っても行っても、道は減りません - もちろん、私たちの控えめなポーランドの規模で。 ある日、私はカナダのサスカチュワン州でバスに乗りました。 外にはトウモロコシ畑がありました。 XNUMX分昼寝をしました。 目が覚めたとき、私たちは同じトウモロコシ畑の中を車で通っていました...でも待ってください、ここは空いていますか？ ある意味、変化がないことは空虚にすぎません。
私たちは、周囲にさまざまな物体が常に存在することに慣れています。 何か 目を閉じていても逃げることはできません。 「私は思う、ゆえに私は存在する」とデカルトは言いました。 私がすでに何かを考えている場合、私は存在します。これは、世界に少なくとも何か（つまり私）が存在することを意味します。 私が思っていたものは存在するのでしょうか？ これについては議論することができますが、現代の量子力学では、ハイゼンベルクの原理が知られています。つまり、それぞれの観測が観測対象の状態を乱すということです。 それを見るまでは ニック それは存在しない、そして私たちが探し始めると、その物体は存在しなくなる。 好き そしてそれは 何か。 不条理になってきた 人間原理：もし私たちが存在しなかったら世界はどうなるかを尋ねても意味がありません。 世界は私たちに見えるものです。 おそらく他の存在たちは地球を角ばったものとして見るだろうか？
陽電子（このような正の電子）は空間にある穴であり、「電子は存在しません」。 消滅の過程で、電子がこの穴に飛び込みますが、「何も起こりません」、つまり穴も電子も存在しません。 スイスチーズの穴に関する多くのジョークは省略します（「たくさんあるほど、穴は少なくなります...」）。 有名な作曲家ジョン・ケージはすでにそのアイデアを大いに活用し、オーケストラが4分33秒間静止し、もちろん何も演奏しないという音楽（？）を作曲しました。 「273分273秒はXNUMX度XNUMX度、マイナスXNUMX度は絶対零度であり、そこですべての動きが停止します」と作曲家（？）は説明しました。
ゼロ、何も、ニック、ニック、何も、ゼロにフィルターします。
アンジェイ・ワイダ監督の映画『オーバー・ザ・イヤーズ』のイェジ
日々が過ぎていきます」
皆さんはどうでしょうか？
多くの人々（素朴な農民から著名な哲学者まで）が存在という現象について疑問を抱きました。 数学の場合、状況は単純です。一貫したものが存在します。
彼女は辺境の野原に消えた
ヤグルマギク、雑草、ライオンの口の中...
なるほど、こういう事もあるんですね
特に収穫期、収穫期には
特に…
ヴォイチェフ・ムリナルスキ『収穫の少女』
すべては無の対極にあります。 数学では、私たちはそれを知っています すべては存在しない。 彼の存在に議論の余地がないというのは、あまりにも不正確な考えです。 これは、古い逆説の例で理解できます。「神が全能であるなら、石を作って拾い上げますか?」 すべての集合の集合は存在できないという数学的証明は、次の定理に基づいています。 歌手 - バーシュテイン、これは「無限の数」(数学的に: 基数) 指定されたセットのすべてのメンバーのセットが、このセットの要素の数よりも大きい。
セットに要素がある場合、要素は 2 つあります。n サブセット。 たとえば、 = 3 で、セットが {1, 2, 3} で構成される場合、次のサブセットが存在します。
- 1 つの 2 要素セット: それぞれの数字 3、XNUMX、XNUMX、
- 空のセットが XNUMX つ、
- XNUMX つの XNUMX 要素セット、
- セット全体 {1,2,3}
– わずか 2、XNUMX3そして、最近学校を卒業した読者の皆さん、対応する公式を思い出していただきたいと思います。
この式の各ニュートン記号は、要素セット内の k 要素セットの数を決定します。
数学では、二項係数は、縮小乗算の興味深い公式など、他の多くの場所で使用されます。
そして、それらの正確な形式から、それらの相互依存性はさらに興味深いものになります。
論理と数学に関する限り、すべてが何であり、何がそうでないのかを理解するのは困難です。 存在しないことに対する議論 ゲストのタイガーに丁寧に「タイガーはハチミツ、ドングリ、アザミが好きですか?」と丁寧に尋ねたくまのプーさんの主張とまったく同じです。 「トラは何でも好きです」とクバスは答え、すべてが好きなら床で寝るのも好きなので、ヴィニーはベッドに戻ることができると結論付けました。
別の議論 ラッセルのパラドックス。 町に床屋があり、自分で毛を剃らない男性全員の毛を剃ります。 彼は自分で髭を剃りますか？ どちらの答えも、自分たちで殺さない人たちだけを殺すという条件と矛盾している。
すべてのコレクションを探しています
結論として、すべての集合の集合は存在しないという、賢明だが最も数学的な証明をします (それと混同しないでください)。
まず、空ではない集合 X について、この集合をその部分集合 P(X) の集合にマッピングする相互に一意な関数を見つけることは不可能であることを示します。 そこで、この関数が存在すると仮定しましょう。 それを伝統的な f で表しましょう。 xからfは何ですか? これはコレクションです。 xf は x に属しますか? これは不明です。 しなければならないか、しなければならないかのどちらかです。 しかし、いくつかの x については、x の f に属さないものでなければなりません。 さて、次に、x が f(x) に属さないすべての x の集合を考えます。 それ (この集合) を A と表します。これは、集合 X の要素 a に対応します。 a は A に属しますか? そうすべきだと仮定しましょう。 しかし、A は、f(x) に属さない x の要素だけを含む集合です...そうですね、もしかしたら A に属さないかもしれません? しかし、集合 A にはこのプロパティのすべての要素が含まれているため、A も含まれます。証明の終わり。
したがって、すべての集合の集合が存在する場合、それ自体はそれ自体の部分集合になりますが、前の推論によれば、これは不可能です。
ふーん、この証拠を見た読者はほとんどいないと思います。 むしろ、私がこの話を持ち出したのは、数学者たちが自分たちの科学の基礎を研究し始めた XNUMX 世紀末に何をしなければならなかったのかを示すためでした。 問題は誰も予想していなかったところにあることが判明しました。 さらに、数学全体にとって、基底に関する次の推論は重要ではありません。 地下室で何が起こっても - 数学の建物全体は堅い岩の上に立っています.
一方その頃、頂上では…
スタニスラフ・レムの物語からもう一つの道徳に注目します。 イヨン・ティチは旅の途中で、長い進化を経て、住民がついに最高の発達段階に達した惑星に到達した。 彼らは皆強くて、何でもできて、すぐにすべてを手に入れます…そして彼らは何もしません。 彼らは砂の上に横たわり、指の間に砂を注ぎます。 「もしすべてが可能なら、それは価値がない」と彼らはショックを受けたイジョンに説明した。 私たちのヨーロッパ文明にこんなことが起こらないように...
